Інтегральне правило Лейбніца

Формальне твердження

Нехай f(x, t) — це функція така, що часткова похідна f щодо t існує і є неперервною. Тоді,

Доведення

Нехай

де a і b — функції від α, що мають прирости Δa і Δb, відповідно, коли α збільшують на Δα. Тоді,

Використовуючи теорему про середнє значення у формі, , де a < ξ < b, до першого і останнього інтегралів у формулі для Δφ вище, маємо

Ділячи на Δα і спрямовуючи Δα → 0, і зауважуючи, що ξ1a і ξ2b, і використовуючи наступне

отримуємо загальну форму інтегрального правила Лейбніца:

Графічне пояснення

На зображенні горизонтальна вісь це вісь . Ми маємо, що різні значення дають різні функції від .

Згідно з правилом Лейбніца, границі змінюватимуться зі зміною . Отже, зі зміною маємо три внески у зміну інтеграла:

  1. Змінюється нижня границя. Площа під кривою зменшується приблизно на жовту область
  2. Змінюється верхня границя. Подібним чином
  3. Змінюється інтегранд. Його площа зменшується на синю область і збільшується на область морського кольору.

Сумарна зміна дає нам формулу Лейбніца.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.