Абелеві рівняння (алгебраїчні)

В своєму мемуарі «Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement» (з французької Про спеціальний клас рівнянь, що розв'язується в радикалах), Абель вказує на три важливі властивості, що притаманні цим типам рівнянь. Вони наступні:

1. Якщо один із коренів незвідного многочлена ${\displaystyle f}$ раціонально виражається через інший корінь, то розв'язання рівняння ${\displaystyle f(x)=0}$ зводиться до розв'язування рівнянь менших степенів.
2. Якщо корені незвідного многочлена ${\displaystyle f}$ мають вигляд ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle \Theta (x_{1}),}$ ${\displaystyle \Theta ^{2}(x_{1})=\Theta {\big (}\Theta (x_{1}){\big )},\ldots ,\Theta ^{n-1}(x_{1}),}$ де ${\displaystyle \Theta }$ — така раціональна функція, що ${\displaystyle \Theta ^{n}(x_{1})=x_{1},}$ то рівняння ${\displaystyle f(x)=0}$ розв'язується в радикалах.
3. Якщо корені незвідного многочлена ${\displaystyle f}$ мають вигляд ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle \Theta _{2}(x_{1}),}$ ${\displaystyle \Theta _{3}(x_{1}),\ldots ,\Theta _{n}(x_{1}),}$ де ${\displaystyle \Theta _{i}}$ — такі раціональні функції, що ${\displaystyle \Theta _{i}\Theta _{j}(x_{1})=\Theta _{j}\Theta _{i}(x_{1}),}$ то рівняння ${\displaystyle f(x)=0}$ розв'язується в радикалах.

• XXV: Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement Архівовано 19 жовтня 2016 у Wayback Machine., Про спеціальний клас рівнянь, що розв'язується в радикалах (1829).
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)