Азійський опціон

У 1980 Марк Стендіш з лондонського відділення американського банку Bankers Trust працював з похідними фінансовими документами з фіксованим дохідністю і власною арбітражною торгівлей. Девід Шаугхтом, працював системним аналітиком фінансових ринків з Bankers Trust з 1984 року, коли Банк Англії вперше дав ліцензії банкам, щоб випустити валютні опціони на лондонському ринку. У 1987 Стендіш і Шаугмен були в Токіо з діловим візитом, коли «вони розробили першу формулу ціни для опціонів, пов'язаних із середньою ціною сирої нафти.». Вони називали це екзотичним опціоном, а «азійським опціон» тому, що вони були в Азії на той момент.

Особливістю опціонів даного типу є те, що ціна виконання (страйк) невідома на момент укладення контракту. Вказується тільки спосіб визначень ціни за значеннями ціни спот за певний період, в тому числі і по майбутнім значенням. Можливі такі варіанти:

• Ціна страйк дорівнює максимальному значенню ціни спот за час дії опціону.

• Ціна страйк дорівнює мінімальному значенню ціни спот за час дії опціону.

• Ціна страйк визначається як середнє значення ціни спот в зазначені моменти часу.

У цьому випадку вказуються дати, що беруть участь у формуванні середнього значення, а також спосіб підрахунку середнього значення.

Опціон, у якого ціна страйку вказується на момент укладення контракту, але замість ціни спот на момент виконання використовується середнє значення ціни спот за певний період, також називається азійським

Фіксована ціна виконання (також відома як «середня ставка»), продаж:

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

де А позначає середнє, а К — ціна виконання.

Еквівалент вартості пут опціону вираховується за формулою:

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(K-A(0,T),0\right).}$

Змінна ціна виконання (вона і є плаваючою ставкою) при продажі азійського опціону:

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

де k — це коефіцієнт зважування, зазвчай 1 виключається з опису. Еквівалент вартості пут опціону вираховується за формулою:

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

Середнє ${\displaystyle A}$ можна обчислити різними способами. Традиційно, говорять про середнє арифметичне. У випадку неперервних величин середнє арифметичне обчислюють за формулою

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

У випадку дискретних спостережень (коли стостереження здійснюються в певні моменти часу ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}}$) середнє арифметичне занаходимо як

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}S(t_{i}).}$

Також існують азійські опціони з середнім геометричним; у випадку неперервних величин середнє задається як

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

Обговорення проблем ціноутворення азійських опціонів за допомогою методів Монте-Карло наведено у роботах Кемна і Форста. [3] У курсі інтегрального підходу до оцінки опціонів проблема для середнього геометричного може бути вирішена за допомогою ефективного класичного потенціалу Фейнмана і Kleinert.

Роджерс і Ши вирішити проблему ціноутворення за допомогою підходу з використанням диференціальних рівнянь з частинними похідними ( PDE approach).

Модель дисперсії гамма може бути ефективно реалізована при ціноутворення азійських опціонів. Тоді, використовуючи геометричне зображення серії Bondesson для створення процесу дисперсії, можна побачити, що гамма показує підвищення продуктивністі при ціноутворенні цього типу опціону.

У моделях Леві проблема ціноутворення азійських опціонів може бути вирішена геометрично. Для арифметики Азійських опціонів у моделях Леві можна покладатись на числові методи або на аналітичні напрямки.

3. Kemna, A.G.Z.; Vorst, A.C.F.; Rotterdam, E.U.; Instituut, Econometrisch (1990), A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values

4. Англійська вікіпедія