Алгебраїчна тотожність Біанкі

Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):

${\displaystyle (1a)\qquad R_{isjk}+R_{jski}+R_{ksij}=0}$

Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:

${\displaystyle (1b)\qquad R_{jkis}+R_{kijs}+R_{ijks}=0}$

Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.

Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:

${\displaystyle (1c)\qquad R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}=0}$

Нехай ми маємо величину з трьома індексами ${\displaystyle s_{ij,k}}$ яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):

${\displaystyle (2)\qquad s_{ij,k}=s_{ji,k}}$

З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:

${\displaystyle (3)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}}$

Тоді легко перевірити, що сума компонент ${\displaystyle a_{i,jk}}$ при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:

${\displaystyle (4)\qquad a_{i,jk}+a_{j,ki}+a_{k,ij}=s_{ij,k}-s_{ik,j}+s_{jk,i}-s_{ji,k}+s_{ki,j}-s_{kj,i}=0}$

Цей хід викладок не зміниться, якщо величина ${\displaystyle s_{ij,k\dots }}$ матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.

Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:

${\displaystyle (5)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}$

Якщо ми позначимо:

${\displaystyle (6)\qquad s_{ij,k}=-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}$

то

${\displaystyle (7)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}=R_{\;ijk}^{s}}$

і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).

Запишемо тензор Рімана:

${\displaystyle (8)\qquad R_{sijk}=(\mathbf {b} _{sj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}$

В цьому випадку

${\displaystyle (9)\qquad s_{ij,k}=-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}$

а далі все аналогічно попереднім викладкам.

Нехай и маємо довільне скалярне поле ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},\dots u^{n})}$. Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:

${\displaystyle (10)\qquad \phi _{i}=\nabla _{i}\phi =\partial _{i}\phi }$

${\displaystyle (11)\qquad \phi _{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\phi =\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\phi _{s}}$

Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.

Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом ${\displaystyle \phi }$ дорівнює:

${\displaystyle (12)\qquad R_{\;ijk}^{s}\phi _{s}=[\nabla _{k}\nabla _{j}]\phi _{i}=\nabla _{k}\phi _{ij}-\nabla _{j}\phi _{ik}}$

В цьому випадку:

${\displaystyle (13)\qquad s_{ij,k}=\nabla _{k}\phi _{ij}}$

і ми одержуємо тотожність:

${\displaystyle (14)\qquad \left(R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}\right)\phi _{s}=0}$

Оскільки функція ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},\dots u^{n})}$ довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат (${\displaystyle \alpha }$ — фіксований індекс):

${\displaystyle (15)\qquad \phi =u^{\alpha },\qquad \phi _{s}=\delta _{s}^{\alpha }}$

Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).

Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора ${\displaystyle T_{i_{1}\cdots i_{m}}}$ ${\displaystyle m}$-рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:

${\displaystyle (16)\qquad A_{i_{1}\dots i_{m}}={1 \over m!}g_{i_{1}\dots i_{m}}^{j_{1}\dots j_{m}}T_{j_{1}\dots j_{m}}}$

Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.

Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:

${\displaystyle (17)\qquad A_{sijk}={1 \over 4!}g_{sijk}^{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{s_{1}}\delta _{i}^{s_{1}}\delta _{j}^{s_{1}}\delta _{k}^{s_{1}}\\\delta _{s}^{i_{1}}\delta _{i}^{i_{1}}\delta _{j}^{i_{1}}\delta _{k}^{i_{1}}\\\delta _{s}^{j_{1}}\delta _{i}^{j_{1}}\delta _{j}^{j_{1}}\delta _{k}^{j_{1}}\\\delta _{s}^{k_{1}}\delta _{i}^{k_{1}}\delta _{j}^{k_{1}}\delta _{k}^{k_{1}}\end{vmatrix}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}$

При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів ${\displaystyle sijk}$, причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:

${\displaystyle (18)\qquad A_{sijk}={1 \over 24}\left((R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})-(R_{sjik}+R_{sikj}+R_{skji})+\dots \right)}$

Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:

${\displaystyle (19)\qquad A_{sijk}={1 \over 3}(R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})}$

Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.

Якщо ${\displaystyle n}$ — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:

${\displaystyle (20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}}$

Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:

${\displaystyle (21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\right)}$

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу ${\displaystyle A_{ijkl}}$:

${\displaystyle (22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}}$

(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли ${\displaystyle n<4}$)

Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:

${\displaystyle (23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{2}(n^{2}-1) \over 12}}$

Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів ${\displaystyle i\neq j}$ формулу:

${\displaystyle (24)\qquad R_{ijij}=k^{(i)}k^{(j)}}$

а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з ${\displaystyle n}$ по 2, тобто:

${\displaystyle (25)\qquad N_{hypersurface}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}}$

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів ${\displaystyle \sigma ^{ij}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}}$:

${\displaystyle (26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{ijkl}\sigma ^{ij}\sigma ^{kl}}$

Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини