Арифметична група

Арифметична група — це група, що отримується як цілі точки алгебричної групи, наприклад, ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$ Арифметичні групи виникають природним чином при вивченні арифметичних властивостей квадратичних форм та інших класичних областей теорії чисел. Вони також є джерелом для дуже цікавих прикладів риманових многовидів, а тому представляють інтерес для диференціальної геометрії і топології. Нарешті, ці дві області об'єднуються в теорію автоморфних форм, яка є фундаментальною в сучасній теорії чисел.

Якщо ${\displaystyle \mathrm {G} }$ є алгебричною підгрупою групи ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ для деякого ${\displaystyle n}$, то ми можемо означити арифметичну підгрупу групи ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ як групу цілих точок ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$. У загальному випадку не очевидно, як точно означити поняття «цілих точок» ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-групи, а підгрупа, визначена вище, може змінюватися, якщо ми візьмемо інше вкладення ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Тоді краще означення поняття — взяти в якості означення арифметичної підгрупи групи ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ будь-яку групу ${\displaystyle \Lambda }$, яка зрівнянна (це означає, що як ${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$, так і ${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$ є скінченними множинами) з групою ${\displaystyle \Gamma }$, що означена вище (з урахуванням будь-якого вкладення в ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$). За цим означенням з алгебричною групою ${\displaystyle \mathrm {G} }$ асоційований набір «дискретних» підгруп, зрівнянних між собою.