Багатозначна логіка

тризначна логіка була історично першою багатозначною логікою, і є найпростішим розширенням двозначної логіки. Перелік істиннісних значень тризначної логіки крім «істинно» та «хибно» включає також третє значення, яке як правило трактується як «невизначене», «невідомо» або «помилково». В останньому випадку логіку зазвичай називають частковою.

У тризначній логіці природно не дотримується закон виключеного третього. Разом з тим, важливою властивістю тризначних логік, що відображає їх адекватність, є те, що всі вони являють собою розширення класичної двозначної логіки. Тобто, за припущення, що символи, які інтерпретуються, не приймають третього істиннісного значення, семантика формул в тризначній логіці така ж, як і в двозначній.

Скінченнозначні логіки (інша назва — 'k'-значні) є узагальненням двозначної логіки в тому, що функція в ній може приймати не два значення (0 і 1), а значення від 0 до k-1. Істотною відмінністю 'k'-значної логіки від двозначної є той факт, що наразі не існує повного опису замкнених класів при k>2. У двозначній логіці навпаки існує повний опис системи замкнутих класів, запропонований Емілем Постом у 1940 році.

Існують наступні перепозначення для функцій кон'юнкції та диз'юнкції:

• A ∧ B = min (A, B)
• A ∨ B = max (A, B)

Нескінченнозначну логіку можна ввести наступним чином:

• Істинне значення знаходиться на відрізку дійсних чисел від 0 до 1;
• Заперечення визначається як: ¬ A = 1-A;
• Кон'юнкція визначається як: A ∧ B = min (A, B);
• Диз'юнкція визначається як: A ∨ B = max (A, B).

До формальних систем нескінченнозначної логіки можуть бути віднесені системи R-функцій В. Л. Рвачова [1].

Може здатися, що теорія ймовірностей дуже схожа на нескінченнозначну логіку: ймовірності відповідає істинне значення (1 = істина, 0 = хиба), ймовірність ненастання якої-небудь події відповідає запереченню, ймовірність одночасного настання двох подій відповідає кон'юнкції, а ймовірність настання хоча б однією з двох подій відповідає диз'юнкції.

Однак між багатозначними логіками і теорією ймовірностей є принципова відмінність: в логіках істинне значення будь-якої функції цілком визначається істинними значенням її аргументів, тоді як в теорії ймовірностей, ймовірність складеної події залежить не тільки від ймовірностей подій-компонентів, але і від їх залежності один від одного (що виражається через їх умовні ймовірності).

Це проявляється, зокрема, в тому, що в теорії ймовірностей виконується еквівалент «закону виключеного третього»: ймовірність того, що деяка подія {відбудеться чи не відбудеться}, завжди дорівнює одиниці, тоді як у багатозначних логіках закон виключеного третього не виконується.

У теорії ймовірностей виконується також еквівалент «закону протиріччя»: ймовірність того, що {деяка подія одночасно настане і не настане}, завжди дорівнює 0, тоді як в багатозначних логіках закон протиріччя не виконується.

Також існує певний зв'язок між істинними значеннями нескінченновимірної логіки та ймовірностями теорії ймовірностей, а саме:

• Якщо a- ймовірність деякої події, то ймовірність ненастання цієї події становить 1-a;
• Якщо a і b- ймовірності деяких двох подій, то ймовірність спільного настання цих двох подій не перевищує min(a,b);
• Якщо a і b- ймовірності деяких двох подій, то ймовірність настання хоча б однієї з цих двох подій більша, або дорівнює max(a,b).

Загальна

• Багатозначна логіка // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.
• Béziau J.-Y. 1997 What is many-valued logic ? Proceedings of the 27th International Symposium on Multiple-Valued Logic, IEEE Computer Society, Los Alamitos, pp. 117–121.
• Malinowski, Gregorz, 2001, Many-Valued Logics, in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Merrie Bergmann (2008). An introduction to many-valued and fuzzy logic: semantics, algebras, and derivation systems. Cambridge University Press. ISBN 9780521881289.
• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Grzegorz Malinowski (1993). Many-valued logics. Clarendon Press. ISBN 9780198537878.
• S. Gottwald, A Treatise on Many-Valued Logics. Studies in Logic and Computation, vol. 9, Research Studies Press: Baldock, Hertfordshire, England, 2001.
• D. Michael Miller; Mitchell A. Thornton (2008). Multiple valued logic: concepts and representations. Synthesis lectures on digital circuits and systems 12. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 9781598291902.
• Hájek P., 1998, Metamathematics of fuzzy logic. Kluwer. (Fuzzy logic understood as many-valued logic sui generis.)

Спеціальна

• Alexandre Zinoviev, Philosophical Problems of Many-Valued Logic, D. Reidel Publishing Company, 169p., 1963.
• Prior A. 1957, Time and Modality. Oxford University Press, based on his 1956 John Locke lectures
• Goguen J.A. 1968/69, The logic of inexact concepts, Synthese, 19, 325—373.
• Chang C.C. and Keisler H. J. 1966. Continuous Model Theory, Princeton, Princeton University Press.
• Gerla G. 2001, Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
• Pavelka J. 1979, On fuzzy logic I: Many-valued rules of inference, Zeitschr. f. math. Logik und Grundlagen d. Math., 25, 45-52.
• George Metcalfe; Nicola Olivetti; Dov M. Gabbay (2008). Proof Theory for Fuzzy Logics. Springer. ISBN 9781402094088. Covers proof theory of many-valued logics as well, in the tradition of Hájek.
• Reiner Hähnle (1993). Automated deduction in multiple-valued logics. Clarendon Press. ISBN 9780198539896.
• Francisco Azevedo (2003). Constraint solving over multi-valued logics: application to digital circuits. IOS Press. ISBN 9781586033040.
• Leonard Bolc; Piotr Borowik (2003). Many-valued Logics 2: Automated reasoning and practical applications. Springer. ISBN 9783540645078.

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: «Many-Valued Logic» — by Siegfried Gottwald.
• IEEE Computer Society's Technical Committee on Multiple-Valued Logic
• Resources for Many-Valued Logic by Reiner Hähnle, Chalmers University