Вікова рівновага

Вікова́ рівнова́га — стан, при якому число ядер ізотопів у ланцюжку розпадів пов'язано з постійними розпаду (періодами напіврозпаду) простим співвідношенням:

${\displaystyle ~{\frac {N_{1}}{N_{2}}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}={\frac {T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}}}}$

Вікова рівновага полягає в тому, що число розпадів (активність) всіх членів радіоактивного ряду дорівнює один одному, і якщо вихідний ізотоп має дуже великий час життя (постійна активність), то ніякої зміни активності і у дочірніх радіоактивних елементів не спостерігається. З достатньою точністю можна вважати, що вікова рівновага наступає за час, що дорівнює десятикратному періоду напіврозпаду найбільш довгоживучого дочірнього елемента:

• в урановому ряду — через 830 000 років,
• торієвому — через 67 років,
• актин-урановому — через 343 000 років.

У природному стані всі нукліди, генетично пов'язані в радіоактивних рядах, зазвичай знаходяться в певних кількісних співвідношеннях, які залежать від їх періодів напіврозпаду. Чим менше ${\displaystyle ~T_{1/2}}$ члена радіоактивного ряду, тем меншим є його вміст в земній корі.[1]

Постійна розпаду ${\displaystyle ~\lambda }$ — ймовірність розпаду ядра в одиницю часу. Якщо у зразку в момент часу ${\displaystyle ~t}$ є ${\displaystyle ~N}$ радіоактивних ядер, то кількість ядер ${\displaystyle ~dN}$, що розпалися за час ${\displaystyle ~dt}$ рівна ${\displaystyle ~dN=-\lambda Ndt}$.

Кількість ядер 2 досягає максимального значення ${\displaystyle N_{2}^{max}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}N_{10}exp(-\lambda _{1}t^{max})}$ при ${\displaystyle ~t^{max}={\frac {\ln(\lambda _{1}/\lambda _{2})}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}}$.

Якщо ${\displaystyle ~\lambda _{2}<\lambda _{1}}$ , сумарна активність ${\displaystyle ~N_{1}(t)\lambda _{1}+N_{2}(t)\lambda _{2}}$ буде монотонно зменшуватись. Якщо ${\displaystyle ~\lambda _{2}>\lambda _{1}}$ , сумарна активність спочатку зростає за рахунок накопичення ядер 2.

У загальному випадку, коли є ланцюжок розпадів ${\displaystyle ~1{\xrightarrow {}}2{\xrightarrow {}}...n}$., процес описується системою диференціальних рівнянь ${\displaystyle ~dN_{i}/dt=-\lambda _{i}N_{i}+\lambda _{i-1}N_{i-1}}$.

Розв'язком системи для активностей з початковими умовами ${\displaystyle ~N_{1}(0)=N_{10}}$; ${\displaystyle ~N_{i}(0)=0}$ буде

${\displaystyle ~A_{n}(t)=N_{10}\sum _{i=1}^{n}{c_{i}exp(-\lambda _{i}t)}}$, де

${\displaystyle ~c_{m}={\frac {\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}}{\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{m})}}}$.