Віконне перетворення Фур'є

Класичне перетворення Фур’є враховує спектр сигналу, який взято у всьому діапазоні існування змінної. Найчастіше інтереси зосереджуються тільки на локальному розподілі частот, у той час коли необхідно зберегти первинну змінну (зазвичай час). У цьому випадку використовується узагальнене перетворення Фур'є, так зване віконне перетворення Фур’є. Для початку необхідно вибрати деяку віконну функцію:

${\displaystyle F(t,\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,}$

де ${\displaystyle F(t,\omega )}$ дає розподіл частот частини оригінального сигналу f(t) у окіл часу ${\displaystyle t}$.

Для віконного перетворення Фур'є в цифровому вигляді може застосовуватися не тільки зважування кожного цифрового відліку в процесі формування згортки, а й еквівалентне вагове підсумовування відгуків перетворення Фур'є.

Наприклад, зважування вікном Ханна (Хеннінга) та вікном Хеммінга може бути представлено у вигляді[2][3]:

${\displaystyle w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}}$,

де ${\displaystyle U_{1}}$, ${\displaystyle U_{2}}$, ${\displaystyle U_{3}}$ - відгуки перетворення Фур'є, ${\displaystyle w}$ - результат віконного перетворення, ${\displaystyle \beta =2}$ відповідає вікну Ханна (Хеннінга), ${\displaystyle \beta =0.53836/0.23082}$ - вікну Хеммінга[2][3].

Реалізація зазначеного зважування здійснюється в режимі ковзного вікна по масиву відгуків перетворення Фур'є.

• Некоторые оконные функции и их параметры
• Использование оконных функций в задачах цифрового спектрального анализа. Примеры и рекомендации