Гіпотеза Ферма — Каталана

Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння

a^{m}+b^{n}=c^{k}

має не більше ніж скінченне число розв'язків $a,b,c,m,n,k$ з різними трійками значень $a^{m},b^{n},c^{k}$ , де $a,b,c$ — взаємно прості натуральні числа, а $m,n,k$ — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.

Відомі розв'язки

На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:[1]

1^{m}+2^{3}=3^{2}

2^{5}+7^{2}=3^{4}

13^{2}+7^{3}=2^{9}

2^{7}+17^{3}=71^{2}

3^{5}+11^{4}=122^{2}

33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}

1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}

9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}

17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}

43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}

Розв'язок $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ — це єдиний розв'язок, у якому одне з $a,b,c$ дорівнює 1. У цьому полягає гіпотеза Каталана, доведена у 2006 році Михайлеску.

Всі розв'язки знайдено для трійок показників $m,n,k,$ рівних $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)$ .

Часткові результати

За теоремою Фальтингса для будь-яких фіксованих натуральних $m,n,k$ , які задовольняють нерівності ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$ , існує не більше ніж скінченне число трійок $a,b,c$ , що задовольняють рівнянню $a^{m}+b^{n}=c^{k}$ ,[2][3]^{:p. 64} але гіпотеза Ферма — Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок $m,n,k$ .

abc-гіпотеза тягне гіпотезу Ферма — Каталана[1].

Гіпотеза Біла полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма — Каталана мають один з показників рівний 2.

Примітки

Pomerance, Carl (2008). Computational Number Theory. У Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. с. 361–362. ISBN 978-0-691-11880-2..
Darmon, H.; Granville, A. (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r. Bulletin of the London Mathematical Society 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513.
Elkies, Noam D. (2007). The ABC's of Number Theory. The Harvard College Mathematics Review 1 (1).

Посилання

Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М. : «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[pcm-1] Pomerance, Carl (2008). Computational Number Theory. У Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. с. 361–362. ISBN 978-0-691-11880-2..

[2] Darmon, H.; Granville, A. (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r. Bulletin of the London Mathematical Society 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513.

[Elkies-3] Elkies, Noam D. (2007). The ABC's of Number Theory. The Harvard College Mathematics Review 1 (1).