Гіпотеза ван дер Вардена

Гіпотеза ван дер Вардена — доведена математична гіпотеза про властивості значень перманента двічі стохастичної матриці ${\displaystyle S}$ порядку ${\displaystyle n}$[1]:

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geqslant {\frac {n!}{n^{n}}}}$,

причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли всі ${\displaystyle S}$ рівні ${\displaystyle 1/n}$.

Висловлена ван дер Варденом 1926 року; фахівців багато років намагались її довести: гіпотезу безпосередньо перевірено для ${\displaystyle n\leqslant 5}$, 1959 року доведено, що, якщо перманент на множині всіх двічі стохастичних ${\displaystyle n}$-матриць досягає на деякій матриці без нульових елементів мінімуму, то він дорівнює ${\displaystyle n!/n^{n}}$. Повністю довели радянські математики Георгій Єгоричев 1980 року[2][3] (з застосуванням нерівності Александрова — Фенхеля про змішаний об'єм) і, незалежно, Дмитро Фалікман 1981 року[4] (також з використанням геометричних методів, роботу подано до опублікування 1979 року); за ці результати обох учених відзначено 1982 року премією Фалкерсона.