Диференціальна тотожність Біанкі

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку ${\displaystyle P}$ і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка ${\displaystyle P}$ довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці ${\displaystyle P}$ ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці ${\displaystyle P}$ (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці ${\displaystyle P}$ маємо:

${\displaystyle (2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}}$

Оскільки

${\displaystyle (3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p}}$

то в точці ${\displaystyle P}$ маємо:

${\displaystyle (4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}}$

Циклічно переставляючи в (4) індекси ${\displaystyle ijk}$ одержимо ще дві рівності:

${\displaystyle (5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s}}$

${\displaystyle (6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}}$

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.