Ефект Голдмана

Відомо, що електричний заряд рухається в постійному магнітному полі по циклотронній орбіті, для якої вводиться параметр магнітної довжини:

${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB}}}}$, (3)

де ${\displaystyle \hbar -}$ приведена постійна Планка, ${\displaystyle e-}$ заряд електрона та ${\displaystyle B-}$ постійне магнітне поле (вірніше індукція).

В режимі квантового ефекта Хола (КЕХ) кожен електрон займає т.з. квант площі:

${\displaystyle S_{B}=2\pi l_{B}^{2}={\frac {h}{eB}}={\frac {\phi _{0B}}{B}}}$, (4)

де ${\displaystyle \phi _{0B}=h/e-}$ квант магнітного потоку. Оскільки площа квантової антиточки (${\displaystyle S_{A}}$) більша, або рівна кванту магнітної площі (${\displaystyle S_{B}}$), тому заповнення першого рівня Ландау можливо ${\displaystyle k_{B}-}$ квазічастками:

${\displaystyle k_{B}={\frac {S_{A}}{S_{B}}}=integer}$. (5)

На відміну від стандартних експериментальних взірців МДН- транзисторів та гетероструктур, котрі використовуються при дослідженнях КЕХ, і мають мезоскопічні розміри (тобто на них знаходяться тисячі і більше квазічасток), квантова антиточка має дуже малі мікроскопічні розміри (на ній можуть знаходитися максимум — декілька десятків квазічасток, а мінімум — одна!), тому на антиточках можна спостерігати факт одиничного тунелювання квазічастки, а значить і одиничного заповнення рівня Ландау. Таким чином, тунельна провідність має осциляційну залежність від зміни магнітного поля, обумовлену одночастковим заповненням рівня Ландау. Це дозволяє перейти у вище приведених формулах від абсолютного значення магнітної індукції до її періоду осціляцій, при яких протікає одночасткове заповнення:

${\displaystyle B=k_{B}\cdot \Delta B_{1}}$, (6)

де ${\displaystyle \Delta B_{1}-}$ період магнітного поля для одночасткового заповнення першого рівня Ландау:

${\displaystyle \Delta B_{1}={\frac {\phi _{0B}}{S_{A}}}}$. (7)

Із останньої формули тривіально випливає, що незалежно від кількості заряджених квазічасток на першому рівні Ландау, магнітний період осціляцій залишається постійною величиною, що визначається стандартним квантом магнітного потоку (${\displaystyle \phi _{0B}}$) та геометричними розмірами квантової антиточки (${\displaystyle S_{A}}$).

Заповнення вищих рівнів Ландау автоматом приводить до дискретного збільшення площі антиточки:

${\displaystyle S_{Ai}=i_{B}\cdot S_{A}}$. (8)

Не менш очевидно і те, що дискретно збільшується кількість квантів магнітного потоку:

${\displaystyle \Phi _{Bi}=\sum _{i=1}^{i_{B}}\Delta \phi _{Bi}=i_{B}S_{A}\Delta B_{i}}$. (9)

Оскільки кожен новий квант магнітного потоку є однаковий на даному рівні Ландау:

${\displaystyle \Delta \phi _{Bi}=\Delta \phi _{Bi+1}\ }$, (10)

тому для повного магнітного потоку та елементарного кванта будуть справедливі такі вирази:

${\displaystyle \Phi _{Bi}=i_{B}\Delta \phi _{Bi}\ }$ (11a)

${\displaystyle \Delta \phi _{Bi}=\Delta B_{i}S_{A}\ }$. (11b)

Враховуючи експериментальний факт (1), із (11b) знаходимо значення квантів магнітного потоку на ${\displaystyle i_{B}}$- му рівні Ландау:

${\displaystyle \Delta \phi _{Bi}=\Delta B_{i}S_{A}=\Delta B_{1}S_{A}/i_{B}=\phi _{B0}/i_{B}\ }$ (12)

а також повний магнітний потік через квантову антиточку на цьому рівні Ландау:

${\displaystyle \Delta \Phi _{Bi}=i_{B}\Delta \phi _{Bi}=\phi _{B0}=const\ }$. (13)

Таким чином, магнітний потік через площу антиточки ${\displaystyle S_{A}}$ не залежить від кількості заповнених рівнів Ландау (${\displaystyle i_{B}}$) і є постійна величина, рівна ${\displaystyle \phi _{B0}}$, тобто одному кванту магнітного потоку.