Змінні дія — кут

Змінні дія-кут — пара канонічно спряжених змінних класичної механічної системи, в якій роль імпульсу відіграє змінна дії — адіабатичний інваріант.

Твірною функцією для канонічного перетворення до нових змінних є функція

${\displaystyle S_{0}(q,E)=\int p(q,E)dq}$,

де E — енергія, однозначно зв'язана з адіабатичним інваріантом I.

Канонічно спряжена до змінної дії кутова змінна w визначається, як

${\displaystyle w={\frac {\partial S_{0}(q,I)}{\partial I}}}$

Рівняння руху в змінних дія-кут мають дуже простий вигляд:

${\displaystyle {\dot {I}}=0,}$

${\displaystyle {\dot {w}}={\frac {dE}{dI}}=\omega (I)}$

Таким чином, адіабатичний інваріант I є інтегралом руху, а кутова змінна зростає з часом за лінійним законом. За один період кутова змінна збільшується на ${\displaystyle 2\pi }$. Вихідні змінні координата q та імпульса p є періодичними функціями кутової змінної.