Зсув інтерференційної смуги

При настройці інтерферометрів Майкельсона використовувалася «натрієва лампа» Sodium-vapor lamp. Особливістю цих лам є те, що вони випромінюють дві майже монохроматичні хвилі в діапазоні жовтого кольору: ${\displaystyle \lambda _{1}=589}$ нм, та ${\displaystyle \lambda _{2}=589.6}$ нм. Результат взаємодії цих двох хвиль світла приводить до картини, що в сучасних термінах називається «принципом модуляції», який широко використовується в радіотехнічному діапазоні електромагнітних хвиль. В рамках теорії Френеля[3] (див. Захар’євський, 1952) [4] розглянемо типову фазу електромагнітної хвилі у вигляді:

${\displaystyle \phi =\omega \cdot t}$,

де

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}}$

-циклічна частота електромагнітної хвилі, або просто частота. Результат взаємодії двох хвиль з різними, проте близькими частотами приводить до появи «різничної частоти», яка у випадку електромагнітних хвиль радіодіапазону дає можливість створювати «модуляцію несучої частоти» відповідно:

${\displaystyle \omega _{mod}=0.5(\omega _{1}-\omega _{2})}$

${\displaystyle \omega _{mean}=0.5(\omega _{1}+\omega _{2})}$.

Частоту модуляції можна подати у наступному вигляді (через одну із первинних частот):

${\displaystyle \omega _{mod}=0.5(\omega _{1}-\omega _{2})={\frac {\omega _{1}}{2n_{\lambda }}}}$,

де ${\displaystyle n_{\lambda }={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}={\frac {589.6}{589.6-586}}=983}$ - т.з. коефіцієнт модуляції[5]. Величина ${\displaystyle n_{\lambda }}$ характеризує собою глибину амплітудної модуляції. При малій глибині модуляції відносна зміна величини огинаючої кривої невелика

${\displaystyle |n_{\lambda }\cdot A(t)|\ll 1}$

у всі моменти часу, незалежно від форми сигналів (в тому числі і світла) ${\displaystyle A(t)}$. Якщо ж в ті моменти часу, коли сигнал ${\displaystyle A(t)}$ досягає екстремальних значень, має місце наближена рівність:

${\displaystyle n_{\lambda }\cdot A_{max}\approx 1}$

або

${\displaystyle n_{\lambda }\cdot A_{min}\approx -1}$

Очевидно, що в цьому випадку ми маємо майже 100% використання енергії від джерела сигналу (світла). В противному випадку ми будемо мати неефективне використання потужності джерела сигналу (світла).

В рамках теорії Френеля у формі Захар’євського[4] маємо наступне співвідношення для ширини інтерференційної смуги:

${\displaystyle \sigma ={\frac {ay}{L}}=N_{1}\lambda _{1}=N_{2}\lambda _{2}}$,

де ${\displaystyle a}$ - відстань між двома когерентними джерелами світла, ${\displaystyle L}$ - база інтерферометра, ${\displaystyle y}$ - відстань між центральною віссю двох джерел світла до довільної точки інтерференційної смуги, ${\displaystyle N_{1}}$ - порядок інтерференції для першої хвилі ${\displaystyle \lambda _{1}}$, а ${\displaystyle N_{2}}$ - порядок інтерференції для другої хвилі ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

В рамках теорії Френеля[4] виконуються наступні співвідношення:

${\displaystyle N_{1}\sigma _{1}=N_{2}\sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\lambda _{2}=\sigma _{2}\lambda _{1}}$.

Позначивши різницю між порядками інтерференції через

${\displaystyle k=N_{1}-N_{2}}$

ми знаходимо вираз для різниці ходу:

${\displaystyle \Delta =N_{1}\lambda _{1}=(N_{1}-k)\lambda _{2}}$

або

${\displaystyle N_{1}={\frac {k\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}}$

В загальному випадку при

${\displaystyle k=0,1,2,3,}$...

ми будемо мати ті значення ${\displaystyle N_{1}}$, при яких збігаються максимуми двох систем. Тоді ми отримаємо інтерференційну картину зі світлих та темних смуг. Проте, при

${\displaystyle k=1/2,3/2,5/2,}$...

максимуми однієї системи накладаються на мінімуми другої системи і в результаті ми отримаємо режим «компенсації». Збігання максимумів повторюється через наступне число смуг:

${\displaystyle n={\frac {(k+1)\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}-{\frac {k\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}}$

При великій різниці довжин хвиль ${\displaystyle \lambda _{2}-\lambda _{1}}$ ми будемо мати невелику кількість смуг. Проте при малій різниці, як це виконується для натрієвої лампи, ми будемо мати

${\displaystyle n_{Na}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}={\frac {589.6}{589.6-586}}=983}$

велике значення для т.з. коефіцієнта модуляції/підсилення інтерференційних смуг.

Слід відзначити, що натрієва лампа використовувалась тільки на першому етапі настройки інтерферометра Майкельсона. Потім в реальних експериментах при вимірюваннях використовувалась інша «монохроматична» лампа «жовтого/білого» світла з середньою довжиною хвилі близькою до натрієвої. При цьому приходилось додатково підстроювати інтерферометр за допомогою зсуву одного плеча інтерферометра за допомогою мікрогвинтів. Таким чином, основною відмінністю інтерферометрів Майкельсона при вимірюванні швидкості Землі є наявність фіксованої різниці ходу в плечах інтерферометра, не залежно від наявності «ефірного вітру» для отримання інтерференційної системи паралельних смуг, товщина яких повністю визначалась натрієвою лампою і становила величину порядку одного міліметра.

В рамках моделі Захар’євського [4], яка базується на теорії Френеля [3], ми маємо наступне значення порядку інтерференції для джерела світла, що складається з двох хвиль:

${\displaystyle n_{H}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}={\frac {6562}{6562-4861}}\approx 3.9}$ нм

у випадку водневих ліній. Тобто збіжність максимумів інтерференції протікає приблизно через кожні чотири голубих смуги. Ця проста модель може бути поширена на «біле світло». Дійсно, довжини хвиль білого світла лежать в діапазоні:

${\displaystyle \lambda _{min}=400}$ нм

${\displaystyle \lambda _{max}=760}$ нм.

Таким чином, середнє значення для довжини хвилі буде:

${\displaystyle \lambda _{av}=0.5(\lambda _{2}+\lambda _{1})=580}$ нм

а значення різниці двох граничних хвиль:

${\displaystyle \Delta (\lambda )=\lambda _{2}-\lambda _{1}=360}$ нм.

В результаті «біле світло» має наступний порядок інтерференції:

${\displaystyle n_{WL}={\frac {\lambda _{av}}{\Delta \lambda }}={\frac {580}{360}}\approx 1.6}$

тобто величина, яка майже в 2 рази відрізняється від порядку інтерференції для водневих ліній, проте вона майже в 500 разів менша від порядку інтерференції для ліній натрію!