Крайня точка

Кра́йня то́чка, вершина опуклої множини ${\displaystyle X}$ лінійного простору ${\displaystyle E}$ — така точка ${\displaystyle x}$, яку не можна представити у вигляді:

${\displaystyle x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}}$,

де

• ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ — деякі точки множини ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle 0<\lambda <1}$.

Крайні точки, також, називають екстремальними точками опуклої множини.

Наприклад, у скінченновимірному евклідовому просторі ${\displaystyle E^{n}}$ крайні точки є вершини багатогранника, точки границі кулі. Множина ${\displaystyle X}$ може не мати крайніх точок (наприклад, відкрита куля).

В просторі ${\displaystyle E^{n}}$ будь-яка непорожня замкнена обмежена множина ${\displaystyle X}$ має крайні точки; кожна точка множини ${\displaystyle X}$ може бути представлена у вигляді опуклої лінійної комбінації крайніх точок.