Кривина ріманових многовидів
Кривина ріманових многовидів чисельно характеризує відмінність ріманової метрики многовиду від евклідової в даній точці. У разі поверхні кривина в точці повністю описується гаусовою кривиною. У розмірностях 3 і вище кривина не може бути повністю охарактеризована одним числом в заданій точці, замість цього вона означається як тензор.
Тензор кривини
Кривина ріманого многовиду може бути описана різними способами. Найбільш стандартним є тензор кривини, заданий через зв'язність Леві-Чивіти (або коваріантне диференціювання) і дужку Лі за такою формулою:
Тензор кривини є лінійним перетворенням дотичного простору до многовиду в обраній точці.
Якщо и , тобто вони є координатними векторами, то , і тому формула спрощується:
тобто тензор кривини вимірює некомутативність коваріантних похідних за векторах.
Лінійне перетворення також називають перетворенням кривини.
Посилання
- Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / пер. с англ. Л. В. Сабинина. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — Т. 1. — 344 с.