Лінійна частотна модуляція

Сигнал ЛЧМ протягом періоду часу

Зміна частоти ${\displaystyle f(t)}$ всередині імпульсів з ЛЧМ відбувається за лінійним законом:

${\displaystyle f(t)=f_{0}+b\cdot t,\quad -{\frac {{T}_{c}}{2}}\leq t\leq {\frac {{T}_{c}}{2}}}$,

де ${\displaystyle f_{0}=(F_{max}+F_{min})/2}$ — центральне значення несучої частоти; ${\displaystyle b=(F_{max}-F_{min})/T_{c}}$; ${\displaystyle T_{c}}$ — тривалість сигналу; ${\displaystyle F_{max}}$, ${\displaystyle F_{min}}$ — максимальне і мінімальне значення частоти радіосигналу.

Фаза сигналу з ЛЧМ визначається як

${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \int \limits _{0}^{t}{f(t)dt}=2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)}$,

Тоді ЛЧМ сигнал може бути описаний виразом

${\displaystyle s_{LFM}(t)=S_{0}\cos \left\{\varphi _{0}+\varphi (t)\right\}=S_{0}\cos \left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\}}$,

або в комплексному вигляді

${\displaystyle {{s}_{LFM}}(t)={{S}_{0}}{{e}^{j\left\{{{\varphi }_{0}}+2\pi \left({{f}_{0}}t+{\frac {b}{2}}{{t}^{2}}\right)\right\}}}}$,

де ${\displaystyle S_{0}}$ — амплітуда сигналу; ${\displaystyle j}$ — уявна одиниця; ${\displaystyle \varphi _{0}}$ — початкова фаза.

Спектр ЛЧМ описується так:

${\displaystyle {\begin{cases}S(\omega )={\begin{cases}{\frac {A_{0}}{2}}{\sqrt {\frac {T_{c}}{\Delta F_{m}}}},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\varphi (\omega )={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{4}}-{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2\Delta \Omega _{M}}}T_{c},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}}$