Метод Лагранжа (теорія квадратичних форм)

Метод полягає в послідовному виділенні в квадратичній формі повних квадратів. Нехай нам дана квадратична форма:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

Можливі два випадки:

1. хоча б один з коефіцієнтів ${\displaystyle a_{ii}}$ біля квадратів відмінний від нуля. Не порушуючи загальності, будемо вважати що ${\displaystyle a_{11}\neq 0}$ (чого можна добитись перестановкою змінних);
2. Всі коефіцієнти ${\displaystyle a_{ii}=0,i={\overline {1,n}}}$ (квадратична форма вироджена), але є коефіцієнт ${\displaystyle a_{ij},i\neq j}$, відмінний від нуля (нехай ${\displaystyle a_{12}\neq 0}$).

В першому випадку перетворюємо квадратичну форму таким чином:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{1n}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{a_{11}}}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}(a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{a_{11}}}y_{1}^{2}+f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})}$, де

${\displaystyle ~y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}}$, а через ${\displaystyle ~f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})}$ позначені решта доданків.

${\displaystyle ~f_{2}(x_{2},...,x_{n})}$ являє собою квадратичну форму від n-1 змінних ${\displaystyle ~x_{2},x_{3},...,x_{n}}$.

Її перетворюють аналогічно, і так далі.

Варто зауважити, що ${\displaystyle y_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}}$

Інший випадок заміною змінних ${\displaystyle ~x_{1}=y_{1}+y_{2},x_{2}=y_{1}-y_{2},x_{3}=y_{3},...,x_{n}=y_{n}}$ зводиться до першого.

• Тевяшев А. Д., Литвин О. Г. Канонічний вигляд квадратичної форми. Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду // Вища математика. Збірник задач. Ч. 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. — Харків : СМІТ, 2010. — С. 164-166.