Метод матриць переходу

В межах окремого шару багатошарової структури розв'язок хвильового рівняння можна записати у вигляді суперпозиції хвиль, що розповсюджуються в різні сторони

${\displaystyle \psi (z)=a_{n}e^{ik_{n}z}+b_{n}e^{-ik_{n}z}\,}$,

де ${\displaystyle a_{n}}$ та ${\displaystyle b_{n}}$ — невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов, а ${\displaystyle k_{n}}$ — хвильове число.

Нехай граничні умови на межі між шаром n та шаром n+1 для функції ${\displaystyle \psi (z)}$ є неперервність самої функції та її похідної:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcl}a_{n}e^{ik_{n}d_{n}}+b_{n}e^{-ik_{n}d_{n}}&=&a_{n+1}+b_{n+1}\,\\ik_{n}a_{n}e^{ik_{n}d_{n}}-ik_{n}b_{n}e^{-ik_{n}d_{n}}&=&ik_{n+1}a_{n+1}-ik_{n+1}b_{n+1}.\end{array}}\right.}$

Тут ${\displaystyle d_{n}}$ — ширина n-го шару.

Вводячи вектор

${\displaystyle \phi _{n}=({\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n}\end{array}})}$,

ці граничні умови можна записати

${\displaystyle L_{n}S_{n}\phi _{n}^{T}=L_{n+1}\phi _{n+1}^{T},}$

де

${\displaystyle S_{n}=\left({\begin{array}{cc}e^{ik_{n}d_{n}}&0\\0&e^{-ik_{n}d_{n}}\end{array}}\right)}$

${\displaystyle L_{n}=\left({\begin{array}{cc}1&1\\ik_{n}&-ik_{n}\end{array}}\right)}$

Тоді

${\displaystyle L_{n}\phi _{n}^{T}=L_{n}S_{n}^{-1}L_{n}^{-1}L_{n+1}\phi _{n+1}^{T}=M_{n}L_{n+1}\phi _{n+1}^{T}.}$

Усі властивості n-го шару (хвильове число, що визначається законом дисперсії для хвилі в шарі та товщина шару) зосереджені в матриці ${\displaystyle M_{n}}$, яку називають матрицею переходу, матрицею трансляції, трансфер-матрицею.

Для розглянутої задачі трансфер-матриця дорівнює

${\displaystyle M_{n}=L_{n}S_{n}^{-1}L_{n}^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\cos k_{n}d_{n}&-{\frac {1}{k_{n}}}\sin k_{n}d_{n}\\k_{n}\sin k_{n}d_{n}&\cos k_{n}d_{n}\end{array}}\right).}$

Трансфер-матриця багатошарової системи визначається добутком матриць переносу окремих шарів:

${\displaystyle M=\prod _{n=1}^{n}M_{n}.}$

Для визначення амплітуд відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через систему, можна записати

${\displaystyle L_{L}\phi _{L}^{T}=ML_{R}\phi _{R}^{T},}$

де індекси L та R позначають крайнє ліве напівнескінченне середовище, з якого хвиля надходить, та крайнє праве напівнескінченне середовище, куди хвиля проходить. Відповідно,

${\displaystyle \phi _{L}^{T}=\left({\begin{array}{c}1\\r\end{array}}\right),\qquad \phi _{R}^{T}=\left({\begin{array}{c}t\\0\end{array}}\right).}$

Отже,

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}1\\r\end{array}}\right)=L_{L}^{-1}ML_{R}\left({\begin{array}{c}t\\0\end{array}}\right)=M^{tot}\left({\begin{array}{c}t\\0\end{array}}\right).}$

Звідси, амплітуда хвилі, що пройшла через багатошарову систему, дорівнює

${\displaystyle t=1/M_{11}^{tot}}$,

а амплітуда відбитої хвилі

${\displaystyle r=M_{21}^{tot}/M_{11}^{tot}.}$

Коефіцієнти проходження та відбиття визначаються квадратами модулів цих величин

${\displaystyle T=|t|^{2},\qquad R=|r|^{2}.}$

В загальному випадку матеріали шарів можуть поглинати хвилі, і тоді хвильові числа — комплексні. Це не обмежує використання методу. Коефіцієнт поглинання дорівнює:

${\displaystyle A=1-R-T.}$

В оптиці вирази для трансфер матриці шару мають різний вигляд у залежності від поляризації електромагнітної хвилі. При нормальному падінні світла на межу розділу електромагнітна хвиля має s-поляризацію. Тоді хвильові числа визначаються законом дисперсії

${\displaystyle k_{n}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon _{n},}$

де ${\displaystyle \omega }$ — циклічна частота, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, а ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ — діелектрична проникність шару. Граничними умовами для s-поляризації є неперервність тангенціальної компоненти напруженості електричного поля хвилі та нормальної компоненти вектора магнітної індукції, що пропорційний похідній від танггенціальної компоненти напруженості електричного поля, а тому матриці переходу мають вигляд, аналогічний викладеному в попередньому параграфі.

При похилому падінні крім s-поляризації існує ще p-поляризація. Ці два випадки вимагають окремого розгляду. Для обох поляризацій хвильове число визначається як

${\displaystyle k_{n}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon _{n}-q^{2},}$

де ${\displaystyle {\mathbf {q} }}$ - однакова для всіх шарів компонента хвильового вектора, паралельна поверхні розділу.

Для p-поляризації граничними умовами є неперервність тангенціальної компоненти напруженості магнітного поля хвилі та нормальної компоненти вектора електричної індукції, тому в граничні умови входять діелектричні проникності шарів.

Матриця ${\displaystyle L_{n}}$ набирає вигляду:

${\displaystyle L_{n}=\left({\begin{array}{cc}\varepsilon _{n}&\varepsilon _{n}\\ik_{n}&-ik_{n}\end{array}}\right),}$

а трансфер-матриця шару:

${\displaystyle M_{n}=L_{n}S_{n}^{-1}L_{n}^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\cos k_{n}d_{n}&-{\frac {\varepsilon _{n}}{k_{n}}}\sin k_{n}d_{n}\\{\frac {k_{n}}{\varepsilon _{n}}}\sin k_{n}d_{n}&\cos k_{n}d_{n}\end{array}}\right).}$