Мішана похідна

Нехай дано достатньо гладку функцію ${\displaystyle f}$ багатьох змінних:

${\displaystyle (1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$

Ми можемо взяти частинну похідну цієї функції по одному з аргументів ${\displaystyle x_{i}}$, вважаючи решту аргументів постійними параметрами. В результаті ми одержимо нову функцію:

${\displaystyle (2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{n}=const}}$

Ця нова функція теж залежить від решти аргументів, як від параметрів. Тобто чисельне значення ${\displaystyle \phi }$ в загальному випадку залежить від усіх тих змінних ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}}$, що і оригінальна функція ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle (3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$

Якщо функція ${\displaystyle \phi }$ виявиться досить гладкою, то ми можемо і її продиференціювати, взявши частинну похідну по тому самому, або по іншому аргументу ${\displaystyle x_{j}}$:

${\displaystyle (4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}$

Якщо ${\displaystyle \ j\neq i}$, то вираз в правій частині рівності (4) називається мішаною похідною.

Для достатньо гладкої функції багатьох змінних значення мішаної похідної не залежить від порядку диференціювання:

${\displaystyle (5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}$