Нерівність Бернуллі

Доведення ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}}$ проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)\geq (1+nx)+x=1+(n+1)x}$.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші ${\displaystyle n\in \mathbb {R} }$. Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче.
Розглянемо ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\ }$, причому ${\displaystyle x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\ }$.
Похідна ${\displaystyle f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\ }$ при ${\displaystyle x=x_{0}=0\!\ }$, оскільки ${\displaystyle n\neq 0\!\ }$.
Функція ${\displaystyle f\!\ }$ двічі диференційовна в проколотому околі точки ${\displaystyle x_{0}\!\ }$. Тому ${\displaystyle f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\ }$. Отримуємо:

• ${\displaystyle f''(x)>0\!\ }$ ⇒ ${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})\!\ }$ при ${\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}$
  
• ${\displaystyle f''(x)<0\!\ }$ ⇒ ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})\!\ }$ при ${\displaystyle n\in (0;1)\!\ }$
  

Значення функції ${\displaystyle f(x_{0})=1\!\ }$, відповідно, справедливі наступні твердження:

• якщо ${\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}$, то ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$
• якщо ${\displaystyle n\in (0;1)\!\ }$, то ${\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx}$

Неважко помітити, що за відповідних значень ${\displaystyle x_{0}=0\!\ }$ або ${\displaystyle n=0,n=1\!\ }$ функція ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})\!\ }$. При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на ${\displaystyle n\!\ }$, що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

• Нерівність також справедлива для ${\displaystyle x\geq -2}$ (при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку ${\displaystyle x\in \left[-2,-1\right)}$ не працює.

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі