Парадокс Смейла

Парадокс Смейла — твердження у диференціальній топології, що сферу в тривимірному просторі можна вивернути навиворіт в класі занурень, тобто з можливими самоперетинами, але без перегинів. Іншими словами, образ сфери у кожний момент деформації мусить залишатися гладким, тобто диференційовним.

Парадокс Смейла. Одна з проміжних конфігурацій, Поверхня Моріна

Парадокс Смейла — це зовсім не логічний парадокс, це теорема, проте вельми контрінтуїтивна. Точніше:

Нехай Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle f\colon S^2\to\R^3} є стандартне вкладення сфери у тривимірний простір. Тоді існує неперервне однопараметричне сімейство гладких занурень $f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]$ , таке, що $f_{0}=f$ і $f_{1}=-f$ .

Досить тяжко уявити конкретний приклад такого сімейства занурень, хоча існує багато ілюстрацій та фільмів.[1][2] З іншого боку, значно простіше довести, що таке сімейство існує. Це і зробив Смейл.

Література

Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281–290.
Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки^{[недоступне посилання з квітня 2019]}. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.

Примітки

Відео вивертання сферы на YouTube:
Відео вивертання сфери російською мовою:

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Відео вивертання сферы на YouTube:

[2] Відео вивертання сфери російською мовою: