Період Пізано

Послідовність Фібоначчі за модулем будь-якого цілого додатного числа m періодична, оскільки серед перших ${\displaystyle m^{2}+1}$ пар чисел знайдуться дві рівні пари ${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})=(x_{j},x_{j+1})}$ для деяких ${\displaystyle i\leq j}$. Тому для всіх цілих k виконується ${\displaystyle x_{i+k}=x_{j+k}}$, тобто, послідовність періодична.

Наприклад, за модулем ${\displaystyle 4}$ послідовність Фібоначчі виглядає як

0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1 ...

і тому ${\displaystyle \pi (4)=6}$.

Послідовність періодів Пізано починається так (послідовність A001175 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

${\displaystyle m}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${\displaystyle \pi (m)}$	1	3	8	6	20	24	16	12	24	60	10	24	28	48	40	24

• Якщо a і b взаємно прості, то ${\displaystyle \pi (ab)=\mathrm {HCK} \left(\pi (a),\pi (b)\right)}$. Або якщо ${\displaystyle m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}}$, то ${\displaystyle \pi (m)=\mathrm {HCK} (\pi (p_{1}^{\alpha _{1}}),\pi (p_{2}^{\alpha _{2}}),\ldots ,\pi (p_{k}^{\alpha _{k}}))}$ (наслідок китайської теореми про остачі).

• ${\displaystyle \pi (m)=\sigma (m)\cdot \sigma _{0}(m)}$, де за ${\displaystyle \sigma (m)\;}$ позначено кількість нулів у періоді, а за ${\displaystyle \sigma _{0}(m)\;}$ позначений індекс першого нуля (не рахуючи ${\displaystyle F_{0}}$). Більш того, відомо, що ${\displaystyle \sigma (m)\in \{1,2,4\}}$.

• Для простого числа p і цілого числа k ≥ 1 виконується ${\displaystyle \pi (p^{k})|p^{k-1}\cdot \pi (p)}$. Більше того, для всіх точних степенів простих чисел від 1 до мільйона виконано рівність ${\displaystyle \pi (p^{k})=p^{k-1}\cdot \pi (p)}$. Але досі невідомо, чи на завжди виконано цю рівність, і чи існує таке p, що ${\displaystyle \pi (p^{2})=\pi (p)}$.

• Якщо ${\displaystyle p}$ — просте число, то справедливі такі твердження:
  • при ${\displaystyle p\equiv \pm 1{\pmod {5}}}$ число ${\displaystyle \pi (p)}$ є дільником ${\displaystyle p-1}$,
  • при ${\displaystyle p\equiv \pm 2{\pmod {5}}}$ число ${\displaystyle \pi (p)}$ є дільником ${\displaystyle 2p+2}$.

• Для всіх додатних цілих чисел m виконується нерівність ${\displaystyle \pi (m)\leq 6m}$, причому рівність в ній досягається тільки на числах виду${\displaystyle m=2\cdot 5^{k}}$.

• Charles W. Campbell II, «The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j», Math 399 Spring 2007
• Marc Renault, «The Fibonacci sequence modulo m»
• Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).