Подвійний потенціальний бар'єр

Подвійний потенціальний бар'єр - симетрична двобар'єрна структура є базова для розуміння фізичних основ формування зонних діаграм, принципів роботи наноелектронних пристроїв та їх конструювання. В цій структурі спостерігається несподіване явище - резонансне тунелювання, при якому коефіцієнт проходження рівний одиниці. При тунелюванні крізь одиночний бар'єр коефіцієнт проникності є надзвичайно малий, порядку ${\displaystyle 10^{-6}}$. Здавалось би, добавка ще одного бар'єру тільки зменшить коефіцієнт проникності. Проте при певних значеннях енергії коефіцієнт проникності крізь двобар'єрну структуру рівний одиниці. У навчальній літературі розглянутий тільки частковий випадок такої структури з ${\displaystyle \delta }$ -бар'єрами. Імпенданса модель дозволяє отримати нові результати - аналітичні вирази для коефіцієнта відбиття та власних значень двобар'єрної структури.

Для двобар'єрної структури необхідно послідовно знаходити нормовані вхідні імпенданси ${\displaystyle Z_{1}-Z_{3}}$ на границях бар'єрів. Виконавши перетворення, знаходимо:

${\displaystyle Z_{3}=Z{\frac {Z^{3}A^{2}B-Z^{2}AB+2Z^{2}A-ZA^{2}+ZB-Z-AB}{-Z^{3}AB-Z^{2}A^{2}+Z^{2}B-Z^{2}-ZAB+2ZA+A^{2}B}}}$

де ${\displaystyle B=i\tan kb\,}$ а ${\displaystyle b}$- ширина потенційної ями. Коефіцієнт відбиття:

${\displaystyle R={\frac {1-Z_{3}}{1+Z_{3}}}={\frac {(1-Z^{2})[2Z+(Z^{2}+1)AB]A}{(Z^{4}+1)A^{2}B+2Z{[(Z^{2}+1)A-Z](1-B)-ZA^{2}}}}.}$

Умова ${\displaystyle R=0}$ визначає вираз для власних значень:

${\displaystyle AB=-{\frac {2Z}{Z^{2}+1}},E>0,}$

і ${\displaystyle A=0}$, або ${\displaystyle Z=1,E>V_{0}}$. Останні вирази відповідають власним значенням одиночного бар'єру. Можна відмітити, що при ${\displaystyle E>0}$ коефіцієнт відбиття ${\displaystyle R=1}$.

Останній вираз перетворюється до вигляду:

${\displaystyle AB={\frac {r^{2}-1}{r^{2}+1}}}$,

де ${\displaystyle r={\frac {1-Z}{1+Z}}}$- коефіцієнт відбиття від стрибка потенціалу висотою ${\displaystyle V_{0}}$. Таким чином, в рамках імпендансної моделі власні значення симетричної двобар'єрної структури визначаються відносним імпедансом бар'єру або коефіцієнтом відбиття від стрибка потенціалу. Цей вивід ілюструє фізичну наглядність імпендансної моделі.

При ${\displaystyle m=m_{1}}$, із останнього виразу знаходимо

${\displaystyle tanh(\chi a)\tan kb\ ={\frac {2\eta }{1-\eta ^{2}}}={\frac {\sqrt {E(V_{0}-E)}}{E-0.5V_{0}}}}$

де ${\displaystyle \eta =\chi /k}$. В діапазоні тунелювання, який представляє найбільший інтерес, величина ${\displaystyle \chi }$- реальна.

У випадку товстих бар'єрів, коли ${\displaystyle \chi a\geq \;1,}$ що відповідає ${\displaystyle a\geq \;\lambda _{1}/\pi ,}$, ${\displaystyle \chi a\approx \;1}$ тоді останній вираз відповідає відомому виразу для потенціальної ями.

У випадку тонких бар'єрів ${\displaystyle \chi a\ll \;2,}$ ${\displaystyle \tanh \chi a\ \approx \;\chi a}$ останнє рівняння перетворюється до вигляду ${\displaystyle \tan kb\ =k\hbar \;^{2}/[am(2E-V_{0})].}$ Для ${\displaystyle \delta -}$ бар'єрів, які описуються функцією типу ${\displaystyle \alpha \delta (x)}$ (де ${\displaystyle \alpha >0}$ - константа), ${\displaystyle V_{0}=\alpha a==0}$ При цьому ${\displaystyle \tan kb\ =-k\hbar \;^{2}/\alpha m,}$ що збігається із стандартними моделями.

Перепишимо останнє рівняння у вигляді:

${\displaystyle 0=cosh(\chi a)\cos kb\ -{\frac {1-\chi ^{2}}{2\chi }}sinh(\chi a)sin(kb)}$

Права частина цього рівняння - дисперсійна характеристика періодичної надрешітки (НР), створеної бар'єрами що чередуються разом із ямамами. Дисперсійна характеристика періодичної ${\displaystyle E(K)}$, де ${\displaystyle K}$- блохівське хвильове число, являють собою зонний енергетичний спектр НР. В лівій частині дисперсійної характеристики стоїть ${\displaystyle cos(K\Lambda )}$, де ${\displaystyle \Lambda =a+b}$- період структури. На границях заборонених зон ${\displaystyle |\cos K\Lambda |=1}$, або ${\displaystyle K\Lambda =n_{3}\pi (n_{3}=1,2,...-}$ номер забороненої зони). Останній вираз відповідає значенням дисперсійної характеристики поблизу середин дозволених енергетичних зон при ${\displaystyle \cos K\Lambda =0}$, або ${\displaystyle K\Lambda =(2n_{p}-1)\pi /2(n_{p}=1,2,...-}$ номер дозволеної зони). Приведені умови для ${\displaystyle K\Lambda }$ в заборонених і дозволених зонах відповідає синфазній та протифазній інтерференції відбитих хвиль. Протифазна інтерференція відповідає резонансному тунелюванню електронів (РТЕ). Таким чином, отриманий вираз для власних значень двобар'єрної структури - базової комірки НР - має безпосередній зв'язок із дисперсійною характеристикою НР.

Перепишемо передостанній вираз у вигляді

${\displaystyle thg(p\pi x)\tan \pi x\ ={\frac {\sqrt {\quad {\check {E}}|\quad {\check {E}}-1}}{\quad {\check {E}}-0,5}}}$

${\displaystyle thg(x)={\begin{cases}\tanh x\,&\quad {\check {E}}<1\\\tan x\,&\quad {\check {E}}\geq \;1\end{cases}}}$

Тут ${\displaystyle x=kb/\pi ;p=|\quad {\check {E}}^{-1}-1|^{1/2}a/b}$. Оскільки ${\displaystyle x=2b/\lambda }$ (${\displaystyle \lambda }$- довжина хвилі електрону в області потенціальної ями), то ${\displaystyle x=1,2,...-}$ число напівхвиль електрону, які вкладаються в потенційній ямі. Із врахуванням залежності ${\displaystyle k}$ від ${\displaystyle E}$ маємо ${\displaystyle x(E)=x(V_{0})\quad {\check {E}}^{1/2}}$, де ${\displaystyle x(V_{0}))={\sqrt {2mV_{0}}}b/\pi \hbar \;}$.

Можна подати у вигляді графіка залежність ${\displaystyle \quad {\check {E}}}$ від ${\displaystyle x}$, а також ${\displaystyle x(\quad {\check {E}})}$, при ${\displaystyle a=b,}$ та ${\displaystyle x(V_{0})=2}$. У всьому діапазоні власні значення змінюються від величин, приблизно рівних власним значенням потенціальної ями структури, до величин, які визначаються умовою взаємної компенсації чотирьох хвиль, відбитих від кожного стрибка потенціалу структури: ${\displaystyle x=n/4,n=1,3,...}$ Діапазон ${\displaystyle \quad {\check {E}}<1}$ відповідає РТЕ. Повний спектр власних значень двобар'єрної структури включає також власні значення одиночного бар'єру у вигляді вертикальних ліній, розташованих в точках ${\displaystyle x=1,2,...}$ в діапазоні ${\displaystyle \quad {\check {E}}>1}$.

Точки пересічення залежностей 1 та 2 визначають власні значення, рівні ${\displaystyle \quad {\check {E}}=0,14}$ та ${\displaystyle \quad {\check {E}}=0,54}$, при ${\displaystyle x(V_{0})=2}$. Такому значенню ${\displaystyle x(V_{0})}$ відповідають такі параметри: ${\displaystyle V_{0}=0,24}$, ${\displaystyle a=b=25}$А, ${\displaystyle m=m_{1}=m_{0}}$.

Якщо подати залежність ${\displaystyle lg(T)}$ від ${\displaystyle \quad {\check {E}}}$ при ${\displaystyle x(V_{0})=2}$, то значення ${\displaystyle \quad {\check {E}}_{1}}$ та ${\displaystyle \quad {\check {E}}_{2}}$ відповідають тим самим значенням, що і в першій площині. Одиночний бар'єр в порівнянні з бар'єром структури мають подвоєну товщину і відповідають двох бар'єрній структурі без потенціальної ями. Таким чином, вдалині від власних значень двобар'єрної структури, потенціальна яма практично не впливає на прохідну хвилю.