Поліноми Лаґерра
Поліноми Лаґерра — ортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.
Визначення
Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння
що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:
Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:
і визначити наступні поліноми за допомогою формули:
Приклади
Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:
n | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 |
Узагальнені поліноми Лаґерра
Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:
Тоді звичайні поліноми Лаґерра є окремим випадком:
Узагальнений поліном Леґерра степеня також можна визначити за допомогою формули
Також виконуються рекурентні співвідношення:
Зокрема
- і , або
Приклади
Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:
Ортогональність
Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з вагою xα e −x:
Для звичайних поліномів Лаґерра виконується рівність:
Література
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
- B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
- Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
- S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.