Постулат Бертрана

Постулат Бертрана — це теорема, яка стверджує, що для будь-якого цілого числа ${\displaystyle n>3}$, завжди існує щонайменше одне просте число ${\displaystyle p}$ таке, що

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Слабше, але елегантніше формулювання таке: для кожного ${\displaystyle n>1}$ існує щонайменше одне просте число ${\displaystyle p}$ таке, що

${\displaystyle n<p<2n.}$

Є інше формулювання для ${\displaystyle n\geq 1}$, де ${\displaystyle p_{n}}$ це ${\displaystyle n}$-те просте число

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$[1]

Це твердження у 1845 вперше припустив Жозеф Бертран [2] (1822–1900). Сам Бертран перевірив своє твердження для всіх чисел у проміжку [2, 3 × 10⁶]. Його припущення повністю довів Пафнутій Чебишов (1821–1894) у 1852[3] і тому, постулат також називають теорема Бертрана-Чебишова або теорема Чебишова. Теорему Чебишова також можна сформулювати як зв'язок між ${\displaystyle \pi (x)\,}$, де ${\displaystyle \pi (x)\,}$ — це функція розподілу простих чисел (кількість простих чисел менших або рівних ${\displaystyle x\,}$):

${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\,}$ для всіх ${\displaystyle \,x\geq 2.\,}$