Простір основних функцій

Простір основних функцій — структура, за допомогою якої будується простір узагальнених функцій (простір лінійних функціоналів на просторі основних функцій).

Узагальнені функції мають велике значення в математичній фізиці, а простір основних функцій використовується як основа для побудови узагальнених функцій (формально це область визначення відповідних узагальнених функцій). Диференціальні рівняння розглядаються у так званому слабкому сенсі, тобто розглядається не рівність у кожній точці, а рівність відповідних регулярних лінійних функціоналів на відповідному просторі основних функцій.

Зазвичай як простір основних функцій ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ вибирається простір нескінченно диференційовних функцій з компактним носієм (так званих фінітних функцій) ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$, на якому вводиться така збіжність (а значить і топологія): послідовність ${\displaystyle \left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ збігається до ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$, якщо:

1. Функції ${\displaystyle u_{j}}$ рівномірно фінітні, тобто ${\displaystyle \exists K}$ — компакт у ${\displaystyle \Omega }$ і в том числі ${\displaystyle \forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K}$.
2. ${\displaystyle \forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)}$ рівномірно за ${\displaystyle x}$.

Тут ${\displaystyle \Omega }$ — обмежена область у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.