Підсилювач заряду

Вхідний струм підсилювача заряду ${\displaystyle I_{IN}}$ тече через нормувальну ємність ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle U_{IN}-U_{OUT}={I_{IN} \over {p\cdot C}}}$,

Залежність вихідної напруги інвертуючого підсилювача від вхідної: ${\displaystyle U_{OUT}=-K\cdot U_{IN}}$.

${\displaystyle U_{IN}+K\cdot U_{IN}={I_{IN} \over {p\cdot C}}}$,

${\displaystyle U_{IN}\cdot (K+1)={I_{IN} \over {p\cdot C}}}$,

${\displaystyle {U_{IN} \over I_{IN}}\cdot (K+1)={1 \over {p\cdot C}}}$.

Приймаючи до уваги, що ${\displaystyle {U_{IN} \over I_{IN}}={1 \over {p\cdot C_{IN}}}}$, маємо:

${\displaystyle {1 \over {p\cdot C_{IN}}}\cdot (K+1)={1 \over {p\cdot C}}}$,

${\displaystyle {1 \over C_{IN}}\cdot (K+1)={1 \over C}}$.

Остаточно маємо залежність вхідної ємності підсилювача заряду ${\displaystyle C_{IN}}$ від нормувальної ємності ${\displaystyle C}$ та коефіцієнту підсилювання ${\displaystyle K}$:

${\displaystyle C_{IN}=C\cdot (K+1)}$.

Залежність напруги на виході інвертуючого підсилювача ${\displaystyle U_{OUT}(t)}$ від напруги на вході інвертуючого підсилювача ${\displaystyle U_{IN}(t)}$:

${\displaystyle U_{OUT}(t)=-K\cdot U_{IN}(t)}$,

де ${\displaystyle K}$ — коефіцієнт підсилювання інвертуючого підсилювача.

Залежність напруги на вході підсилювача ${\displaystyle U_{IN}(t)}$ від значення заряду давача ${\displaystyle Q(t)}$:

${\displaystyle U_{IN}(t)={Q(t) \over {C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN}}}}$.

Приймемо до уваги, що ${\displaystyle C_{IN}=C\cdot (K+1)}$.

Залежність напруги на вході підсилювача ${\displaystyle U_{OUT}(t)}$ від значення заряду давача ${\displaystyle Q(t)}$:

${\displaystyle U_{OUT}(t)={-K}\cdot U_{IN}(t)={-K}\cdot {Q(t) \over {C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN}}}={-K}\cdot {Q(t) \over {C_{SEN}+C_{CAB}+C\cdot (K+1)}}}$.

У підсумку маємо передавальну характеристику підсилювача заряду:

${\displaystyle U_{OUT}(t)=-{Q(t) \over C}\cdot {K \over {K+1}}\cdot {1 \over {1+{{C_{SEN}+C_{CAB}} \over {C\cdot (K+1)}}}}}$.

Тобто, чим більше коефіцієнт підсилювання ${\displaystyle K}$, тим менше вплив ємностей давача ${\displaystyle C_{SEN}}$ та кабелю ${\displaystyle C_{CAB}}$ на вихідний сигнал ${\displaystyle U_{OUT}}$.

Якщо коефіцієнт підсилювання ${\displaystyle K}$ дорівнює нескінченності, маємо ідеальний підсилювач заряду з передавальною характеристикою ${\displaystyle U_{OUT}(t)=-{Q(t) \over C}}$.

Важливою властивістю підсилювача заряду є незалежність вихідної напруги від довжини екранованого дроту, який з'єднує давач з входом підсилювача.[1]

Струм I_IN на вході лінійного інвертуючого підсилювача A, охопленого від'ємним зворотнім зв'язком через резистор R:

${\displaystyle I_{IN}={{U_{IN}-U_{OUT}} \over {R}}={{U_{IN}+K\cdot U_{OUT}} \over {R}}={{U_{IN}\cdot (K+1)} \over {R}}}$

Якщо переходимо від еквівалентної схеми на рисунку 3-I до еквівалентної схеми на рисунку 3-II, на вході лінійного інвертуючого підсилювача з'явиться резистор R_IN.

Тоді знову визначимо струм I_IN: ${\displaystyle I_{IN}={{U_{IN}} \over {R_{IN}}}}$.

Звідки маємо перетворення еквівалентної схеми на рисунку 3-I на еквівалентну схему на рисунку 3-II:

${\displaystyle {{U_{IN}\cdot (K+1)} \over {R}}={{U_{IN}} \over {R_{IN}}}}$.

Отримаємо еквівалентний опір на вході лінійного інвертуючого підсилювача:

${\displaystyle R_{IN}={{R} \over {K+1}}}$.

${\displaystyle {dQ(t) \over dt}=(C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})\cdot {{dU_{IN}(t)} \over {dt}}+{U_{IN}(t) \over R_{IN}}}$.

${\displaystyle {p\cdot Q(p)}=p\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})\cdot {U_{IN}(p)}+{U_{IN}(p) \over R_{IN}}}$.

${\displaystyle {p\cdot Q(p)\cdot R_{IN}}=p\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})\cdot {U_{IN}(p)\cdot R_{IN}}+{U_{IN}(p)}}$

${\displaystyle {p\cdot Q(p)\cdot R_{IN}}=(p\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})\cdot {R_{IN}}+1)\cdot {U_{IN}(p)}}$

${\displaystyle {p\cdot Q(p)\cdot R_{IN}}\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})=(p\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})\cdot {R_{IN}}+1)\cdot {U_{IN}(p)}\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})}$

${\displaystyle \tau =R_{IN}\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})}$

${\displaystyle p\cdot Q(p)\cdot \tau ={U_{IN}(p)}\cdot (p\cdot \tau +1)\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C_{IN})}$

Приймемо до уваги, що ${\displaystyle C_{IN}=C\cdot (K+1)}$.

${\displaystyle p\cdot Q(p)\cdot \tau ={U_{IN}(p)}\cdot (p\cdot \tau +1)\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C\cdot (K+1))}$

${\displaystyle {U_{IN}(p)}={Q(p)\cdot {{p\cdot \tau } \over {(p\cdot \tau +1)\cdot (C_{SEN}+C_{CAB}+C\cdot (K+1))}}}}$

Залежність напруги на виході інвертуючого підсилювача ${\displaystyle U_{OUT}(p)}$ від напруги на вході інвертуючого підсилювача ${\displaystyle U_{IN}(p)}$:

${\displaystyle U_{OUT}(p)=-K\cdot U_{IN}(p)=-K\cdot {Q(p)\cdot {1 \over {C_{SEN}+C_{CAB}+C\cdot (K+1)}}\cdot {{p\cdot \tau } \over {(p\cdot \tau +1)}}}}$,

де ${\displaystyle K}$ — коефіцієнт підсилювання інвертуючого підсилювача.

У підсумку маємо передавальну функцію реального підсилювача заряду:

${\displaystyle H(p)={{U_{OUT}(p)} \over {Q(p)}}=-{1 \over C}\cdot {K \over {K+1}}\cdot {1 \over {1+{{C_{SEN}+C_{CAB}} \over {C\cdot (K+1)}}}}\cdot {{p\cdot {\tau }} \over {1+p\cdot {\tau }}}}$.

${\displaystyle p={j\cdot \omega }}$

Комплексна частотна характеристика реального підсилювача заряду

${\displaystyle H({j\cdot {\omega }})={{U_{OUT}(j\cdot {\omega })} \over {Q(j\cdot {\omega })}}=-{1 \over C}\cdot {K \over {K+1}}\cdot {1 \over {1+{{C_{SEN}+C_{CAB}} \over {C\cdot (K+1)}}}}\cdot {{j\cdot {\omega }\cdot {\tau }} \over {1+j\cdot {\omega }\cdot {\tau }}}}$

Модуль комплексної частотної характеристики реального підсилювача заряду

${\displaystyle A(\omega )=\left\vert H({j\cdot {\omega }})\right\vert =\left\vert {{U_{OUT}(j\cdot {\omega })} \over {Q(j\cdot {\omega })}}\right\vert =-{1 \over C}\cdot {K \over {K+1}}\cdot {1 \over {1+{{C_{SEN}+C_{CAB}} \over {C\cdot (K+1)}}}}\cdot {\sqrt {{{({\omega }\cdot {\tau })}^{2}} \over {1+{({\omega }\cdot {\tau })}^{2}}}}}$,

де ${\displaystyle \omega ={2\cdot {\pi }\cdot f}}$ — кутова частота.

Остаточно маємо

${\displaystyle A(f)=-{1 \over C}\cdot {K \over {K+1}}\cdot {1 \over {1+{{C_{SEN}+C_{CAB}} \over {C\cdot (K+1)}}}}\cdot {\sqrt {{({{f} \over {f_{0}}})^{2}} \over {1+({{f} \over {f_{0}}})^{2}}}}}$,

${\displaystyle f_{0}={{1} \over {2\cdot {\pi }\cdot {\tau }}}}$ — нижня межа смуги пропускання.

З цього можна зробити висновок, що реальний підсилювач заряду є фільтром верхніх частот з нижньою межею смуги пропускання ${\displaystyle f_{0}={{1} \over {2\cdot {\pi }\cdot {\tau }}}}$, тобто він не здатен підсилювати постійну складову заряду.