Рівняння Абеля (функціональні)

Це рівняння еквівалентності. Припускаючи, що α є зворотньою функцією, друге рівняння можна записати як

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Беручи x = α⁻¹(y), рівняння можна записати як

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Якщо функція f(x) вважається відомою, завдання полягає у вирішенні функціонального рівняння для функції α⁻¹≡h,що, можливо, задовольняє додаткові вимоги, такі як α⁻¹(0) = 1.

Зміна змінних s^α(x) = Ψ(x), для реального параметра s,призводить рівняння Абеля до знаменитого Рівняння Шредера, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

Подальша зміна F(x) = exp(s^α(x)) в рівнянні Бьоттчера, F(f(x)) = F(x)^s.

Рівняння Абеля є особливим випадком (і легко узагальнює) рівняння перекладу,[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

e.g., for ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$,

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$.     (Observe ω(x,0) = x.)