Статистика Петуніна

Статистика Петуніна (p-статистика) — міра близькості між вибірками, запропонована українським математиком Юрій Петуніним. Використовується для перевірки гіпотези про рівність функцій розподілу двох вибірок.

Розглянемо дві генеральні сукупності ${\displaystyle G}$ та ${\displaystyle G'}$ та відповідні функції розподілу ${\displaystyle F_{G}}$ та ${\displaystyle F_{G'}}$. Нехай ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {G}}$ та ${\displaystyle x=({x'}_{1},{x'}_{2},...,{x'}_{m})\in {G'}}$, а ${\displaystyle {x}_{(1)}\leq {x}_{(2)}\leq ...\leq {x}_{(n)}}$ та ${\displaystyle {x'}_{(1)}\leq {x'}_{(2)}\leq ...\leq {x'}_{(m)}}$ — відповідні порядкові статистики. Припустимо, що ${\displaystyle F_{G}(u)=F_{G'}(u)}$, тоді

Якщо маємо вибірку ${\displaystyle {x'}\in ({x'}_{(1)},{x'}_{(2)},...,{x'}_{(m)})}$, можемо знайти частоту ${\displaystyle h_{ij}}$ випадкові події ${\displaystyle A_{ij}}$ та довірчі інтервали ${\displaystyle ({p}_{ij}^{(1)},{p}_{ij}^{(2)})}$ для ймовірності ${\displaystyle p_{ij}}$ при заданому рівні значущості ${\displaystyle \beta }$, тобто ${\displaystyle B=\{p_{ij}\in ({p}_{ij}^{(1)},{p}_{ij}^{(2)})\},p(B)=1-\beta }$. Згідно з [1]

,

де ${\displaystyle g}$ задовольняє умову ${\displaystyle \phi (g)=1-{\frac {\beta }{2}}}$ (${\displaystyle \phi (g)}$ — щільність нормального розподілу). Згідно з [2] покладемо ${\displaystyle g=3}$.

Позначимо через ${\displaystyle N}$ всі довірчі інтервали ${\displaystyle I_{ij}=(p_{ij}^{(1)},p_{ij}^{(2)})}$ (${\displaystyle N={\frac {n(n-1)}{2}}}$) та ${\displaystyle L}$ — число інтервалів ${\displaystyle I_{ij}}$, які містять ймовірність ${\displaystyle p_{ij}}$, тобто ${\displaystyle p_{ij}\in {I_{ij}}}$. Покладемо

${\displaystyle h=\rho (x,x')={\frac {L}{N}}}$

Статистика ${\displaystyle h}$ називається p-статистикою (статистикою Петуніна), вона є мірою близькості ${\displaystyle \rho (x,x')}$ між вибірками ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle x'}$.