Суми Вейля

Сумами Вейля є тригонометричні суми виду[1]

${\displaystyle \sum _{n}e^{2\pi if(n)}=\sum _{n}\cos[2\pi f(n)]+i\sum _{n}\sin[2\pi f(n)],}$

де ${\displaystyle f(n)=a_{0}n^{k}+a_{1}n^{k-1}+...+a_{k}}$ многочлен степені ${\displaystyle k}$ із раціональними коефіцієнтами, а сумування розповсюджується по певному відрізку натурального ряду ${\displaystyle M\leq n\leq N,\,\,\,n}$ цілі.

Найпростішою такою сумою є

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{m-1}e^{2\pi i{\frac {a}{m}}n}=\sum _{n=0}^{m-1}\cos({\frac {2\pi a}{m}}n)+i\sum _{n=0}^{m-1}\sin({\frac {2\pi a}{m}}n),}$

де ${\displaystyle a,m\in \mathbb {Z} .}$ Якщо ${\displaystyle a}$ ділиться на ${\displaystyle m,}$ то кожний доданок суми ${\displaystyle S}$ дорівнює 1 та, відповідно, ${\displaystyle S=m;}$ у протилежному випадку сума дорівнює нулю. Оскільки

${\displaystyle S=1+e^{2\pi i{\frac {a}{m}}}+e^{2\pi i{\frac {2a}{m}}}+...+e^{2\pi i{\frac {(m-1)a}{m}}}={\frac {e^{2\pi ia}-1}{e^{\frac {2\pi ia}{m}}-1}}={\frac {\overbrace {1-1} ^{=0}}{e^{\frac {2\pi ia}{m}}-1}}=0.}$

Таким чином,

${\displaystyle S={\begin{cases}0,\,{\text{якщо a не ділиться на m}},\\m,\,{\text{якщо a ділиться на m}}.\end{cases}}}$

Оцінки сум Вейля відіграють важливу роль у багатьох задачах аналітичної теорії чисел. Існує декілька методів оцінки сум Вейля. Найбільш простий та відомий з них - метод Гауса.

• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.
• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.