Теорема Пуанкаре про векторне поле

Нехай на гладкому замкненому двовимірному многовиді ${\displaystyle M}$ визначено векторне поле ${\displaystyle V}$, що має скінченне число ізольованих особливих точок ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$. Тоді

${\displaystyle \sum _{i}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),}$

тут ${\displaystyle J_{A_{i}}(V)}$ — індекс точки ${\displaystyle A_{i}}$ відносно ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \chi (M)}$ — ейлерова характеристика ${\displaystyle M}$.