Теорема відповідності (теорія груп)

Спочатку доведемо, що ${\displaystyle \psi }$ — це бієкція.

Ін'єктивність. Якщо ${\displaystyle H_{1}/N=H_{2}/N}$, тоді класи суміжності обох підгруп однакові, тобто для будь-якого ${\displaystyle h_{1}\in H_{1}}$ ми маємо ${\displaystyle h_{1}N=h_{2}N}$ для певного ${\displaystyle h_{2}\in H_{2},}$ з чого випливає, що ${\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}\in N\subset H_{2}}$, отже ${\displaystyle h_{1}\in H_{2},}$ що доводить, що ${\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}.}$ Проводячи такий самий аргумент у зворотному напрямку маємо, що ${\displaystyle H_{1}=H_{2}.}$

Сюр'єктивність. Нехай ${\displaystyle Q}$ буде підгрупою ${\displaystyle G/N}$ і нехай ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ буде канонічною проекцією. Тоді,

${\displaystyle \pi ^{-1}(Q)=\{a\in G,aN\in Q\}.}$

Це підгрупа ${\displaystyle G,}$ що містить ${\displaystyle N}$ і

${\displaystyle \psi (\pi ^{-1}(Q))=\{aN,aN\in Q\}=Q.}$

Залишилось довести, що ${\displaystyle H\trianglelefteq G\iff H/N\trianglelefteq G/N.}$ Припустимо, що ${\displaystyle H\trianglelefteq G.}$ Для кожного ${\displaystyle a\in G,}$ нам потрібно показати, що

${\displaystyle (aN)(H/N)(aN)^{-1}=H/N.}$

Тепер для будь-якого ${\displaystyle hN\in H/N,}$ маємо

${\displaystyle (aN)(hN)(aN)^{-1}=(aha^{-1})N\in H/N}$

і це все, що нам треба. У зворотному напрямку, припустимо, що ${\displaystyle H/N\trianglelefteq G/N.}$ Розглянемо гомоморфізм

${\displaystyle a\mapsto (aN)(H/N),}$

який є композицією канонічної проекції ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ і канонічної проекції ${\displaystyle G/N}$ на ${\displaystyle (G/N)/(H/N)}$ (остання можлива оскільки ${\displaystyle H/N\trianglelefteq G/N).}$ Зараз ми хочемо показати, що ${\displaystyle H}$ це ядро цього відображення, що завершить доведення, оскільки ядро гомоморфізма є нормальним.

Елемент ${\displaystyle a}$ належить ядру тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (aN)(H/N)=H/N,}$ тобто тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle aN\in H/N,}$ або ж ${\displaystyle aN=hN}$ для деякого ${\displaystyle h\in H.}$ Оскільки ${\displaystyle N}$ міститься в ${\displaystyle H,}$ це значить, що ${\displaystyle aN}$ також міститься в ${\displaystyle H,}$ а значить і ${\displaystyle a,}$ що ми й хотіли довести.

Якщо ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ це двосторонній ідеал кільця ${\displaystyle R,}$ тоді канонічне відображення

${\displaystyle \tau :R\to R/{\mathcal {I}}}$

встановлює відповідність один-до-одного між

• множиною підкілець ${\displaystyle R,}$ що містять ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ і множиною підкілець ${\displaystyle R/{\mathcal {I}},}$
• множиною ідеалів ${\displaystyle R,}$ що містять ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ і множиною всіх ідеалів ${\displaystyle R/{\mathcal {I}}.}$

• Композиційний ряд

• Теорема відповідності на ProofWiki (англ.)