Теорема про симплектичного верблюда

Доведено в 1985 році Михайлом Громовим[2]. Ян Стюарт назвав цю теорему теоремою про симплектичного верблюда, посилаючись на біблійну притчу Лк. 18:25 верблюдові легше пройти через голчине вушко, ніж багатому в Боже Царство ввійти[3].

До появи цієї теореми було дуже мало відомо про геометрію симплектичних перетворень. Одна проста властивість симплектоморфізма полягає в тому, що він зберігає об'єм[4]. Легко бачити, що куля будь-якого радіусу допускає вкладення в циліндр будь-якого радіусу зі збереженням об'єму. Таким чином, теорема про верблюда каже, що клас симплектичних перетворень істотно менше класу дифеоморфізмів, що зберігають об'єм.

У просторі

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\}}$

з симплектичною формою

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\ldots +dx_{n}\wedge dy_{n}}$

розглянемо кулю радіуса R

${\displaystyle B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid \|z\|<R\}}$

і циліндр радіуса r

${\displaystyle Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\}.}$

Теорема про симплектичного верблюда каже, що якщо ми можемо знайти симплектичне вкладення

${\displaystyle \phi \colon B(R)\to Z(r),}$

то ${\displaystyle R\leqslant r}$.

• Maurice A. de Gosson: The symplectic egg, arXiv:1208.5969v1, submitted on 29 August 2012 — includes a proof of a variant of the theorem for case of linear canonical transformations
• Dusa McDuff: What is symplectic geometry?, 2009