Тетраедр Ріва

Кожна вершина тетраедра Ріва лежить на фундаментальній точці гратки (точка в ℤ³). Жодна інша точка гратки не лежить на поверхні чи усередині тетраедра. Об'єм тетраедра Ріва — ${\displaystyle {\dfrac {r}{6}}}$. У 1957 році Рів використав цей тетраедр, щоб показати, що існують тетраедри з чотирма точками гратки як вершинами і які не містять інших точок гратки, і при цьому мають значно більші об'єми.[1]

У двовимірному просторі площа кожного багатогранника з вершинами на гратки визначається за допомогою формули через кількості точок гратки у його вершинах, на гранях та всередині багатогранника відповідно до теореми Піка. Тетраедр Ріва показує, що не може бути відповідної формули об'єму в розмірності три і більше. Будь-яка така формула не змогла б відрізнити один від одного тетраедри Ріва з різними варіантами вибору ${\displaystyle r}$, хоча їх об'єми різні.[1]

Рів показав, що попри негативний результат, можна отримати іншу формулу об'єму багатогранника через кількість точок гратки в багатограннику, кількість точок тоншої гратки в багатограннику та характеристику Ейлера для багатогранника.[1][2]

Многочлен Ергарта для будь-якого багатогранника на ґратці визначає число точок ґратки, що він містить, при масштабуванні у натуральне число разів. Многочлен Ергарта для тетраедра Ріва ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{r}}$ висоти ${\displaystyle r}$ має вигляд:[3]

${\displaystyle L({\mathcal {T}}_{r},t)={\frac {r}{6}}t^{3}+t^{2}+\left(2-{\frac {r}{6}}\right)t+1.}$

Таким чином, коефіцієнт при ${\displaystyle t}$ у многочлені Ергарта буде від'ємний, якщо ${\displaystyle r\geq 13}$. Цей приклад показує, що многочлени Ергарта іноді можуть мати від'ємні коефіцієнти.[3]