Формула Кардано

Нехай дано рівняння ${\displaystyle \ x^{3}+px+q=0}$

Будемо шукати його розв'язок у вигляді ${\displaystyle \ x=u+v.}$

Отримаємо рівняння

${\displaystyle \ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$

Введемо додаткову умову для змінних ${\displaystyle \ 3uv+p=0,}$

утворену систему ${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{cases}}}$ розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}\\v^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}\end{cases}}}$, де ${\displaystyle D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$ — дискримінант кубічного рівняння, звідки

${\displaystyle {\begin{cases}u={}^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}\\v={}^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}\end{cases}}}$

Розв'язок рівняння подається у вигляді ${\displaystyle x=u+v}$. В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення. Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб ${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}$. Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.

• Кубічне рівняння
• Дискримінант
• Джироламо Кардано

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.