Функції Ваньє

Фу́нкції Ваньє́ — система ортонормованих локалізованих хвильових функцій, що застосовується для опису електронних станів кристалічних твердих тіл.

Функції Ваньє визначаються як

${\displaystyle \varphi _{n}(\mathbf {a} _{m},\mathbf {r} )=\varphi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{m})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{m})}}$,

де n — номер зони, m — номер кристалічного вузла, ${\displaystyle \mathbf {a} _{m}}$ — вектор m-го вузла, N — число частинок в кристалі, функції ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ — періодичні функції, які фігурують в блохівських хвильових функціях

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

Функції Ваньє прив'язані до конкретного вузла m кристалічної ґратки й локалізовані біля цього вузла, спадаючи на далекій віддалі від нього за законом

${\displaystyle \varphi (r)\propto {\frac {\sin \pi r/a}{\pi r/a}}}$,

де a - період кристалічної ґратки.

Функції Ваньє ортогональні як щодо номера зони, та і щодо вузла m. Номер вузла відіграє щодо них роль квантового числа.