Число відрізків

В теорії вузлів число відрізків — це інваріант вузла, що визначає найменше число прямих «відрізків», які, поєднуючи кінець з кінцем, утворюють вузол. Конкретніше, для будь-якого вузла K число відрізків K, позначається stick (K), — це найменше число ланок ламаної, еквівалентній K.

2,3 торичний вузол (трилисник) має число відрізків, що дорівнює шести. q = 3 і 2 × 3 = 6.

Відомі значення

Найменше число відрізків для нетрівіальноих вузлів дорівнює шести. Є невелике число вузлів, для яких число відрізків можна визначити точно. Ге Таєк Джин (Gyo Taek Jin) визначив число відрізків (p, q) — торичних вузлів T (p, q) для випадків, коли параметри p і q не сильно відрізняються [1] :

{\text{stick}}(T(p,q))=2q

якщо

2\leq p<q\leq 2p.

Цей же результат приблизно в той самий час незалежно отримала дослідницька група, очолювана Адамсом , але для меншої області параметрів [2] .

Межі

Число відрізків композиції вузлів зверху обмежена сумарним числом відрізків вихідних вузлів [2] [1] :

{\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3

Пов'язані інваріанти

Число відрізків вузла K пов'язано з його числом перетинів c (K) наступною нерівністю [3] [4] [5] :

{\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,c(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).

Література

Вступні матеріали

C. C. Adams. Why knot: knots, molecules and stick numbers // Plus Magazine. — 2001. — Вип. May (16 грудня).. Вступ для читачів із невеликими знаннями в математиці
C. C. Adams. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — Providence, RI : American Mathematical Society, 2004. — ISBN 0-8218-3678-1.

Дослідницькі статті

Colin C. Adams, Bevin M. Brennan, Deborah L. Greilsheimer, Alexander K. Woo. Stick numbers and composition of knots and links // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Т. 6, вип. 2 (16 грудня). — С. 149—161. — DOI:10.1142/S0218216597000121.
Jorge Alberto Calvo. Geometric knot spaces and polygonal isotopy // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2001. — Т. 10, вип. 2 (16 грудня). — С. 245—267. — DOI:10.1142/S0218216501000834.
Gyo Taek Jin. Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Т. 6, вип. 2 (16 грудня). — С. 281—289. — DOI:10.1142/S0218216597000170.
Seiya Negami. Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs // Transactions of the American Mathematical Society. — 1991. — Т. 324, вип. 2 (16 грудня). — С. 527—541. — DOI:10.2307/2001731.
Youngsik Huh, Seungsang Oh. An upper bound on stick number of knots // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2011. — Т. 20, вип. 5 (16 грудня). — С. 741—747. — DOI:10.1142/S0218216511008966.

Посилання

Weisstein, Eric W. Stick number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
«Stick numbers for minimal stick knots», KnotPlot Research and Development Site.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[FOOTNOTEJin1997-1] Jin, 1997.

[FOOTNOTEAdams,_Brennan,_Greilsheimer,_Woo1997-2] Adams, Brennan, Greilsheimer, Woo, 1997.

[FOOTNOTENegami1991-3] Negami, 1991.

[FOOTNOTECalvo2001-4] Calvo, 2001.

[FOOTNOTEHuh,_Oh2011-5] Huh, Oh, 2011.