CORDIC

Відомий класичний CORDIC-метод описав Джек Волдер (Jack E. Volder) ще у 1959 р. [1].З того часу опубліковано надзвичайно багато робіт з цієї проблематики [2 — 10].Метод популярний і нині завдяки простоті його програмної та апаратної реалізації. Адже для класичного CORDIC потрібен лише невеликий об'єм пам'яті та деякі елементарні операції типу зчитування з пам'яті, додавання, віднімання та зсуву.

Розгляд методу почнемо з опису двох поширених кривих другого порядку — кола одиничного радіуса та гіперболи.Якщо параметрично подати коло та гіперболу, то положення будь-якої точки на цих кривих з координатами (x, y)^Т описується такими рівняннями:

для кола

${\displaystyle x=cos\phi ,}$

${\displaystyle y=sin\phi ,(1)}$

${\displaystyle \phi =arctan\left({\frac {y}{x}}\right);}$

для гіперболи

${\displaystyle x=cosh\phi ,}$

${\displaystyle y=sinh\phi ,(2)}$

${\displaystyle \phi =arctanh\left({\frac {y}{x}}\right);}$

де φ — кут, який утворює вектор початкового положення (x_o,y_o)^T = (1,0)^T, рухаючись по колу або гіперболі, з віссю абсцис; кінець вектора досягає точки (x, y)^T(Т- символ транспонування). Зв'язок між координатами двох точок, що лежать на колі (гіперболі), можна описати за допомогою повороту вектора навколо початку декартової системи координат. Точка, що розміщена на кінці вектора і має початкові координати (x, y)^T, завдяки повороту вектора на кут φ переміститься у нове положення з координатами (x^' ,y^')^T. Якщо вектор рухається проти годинникової стрілки, то зв'язок (для кола) описується такими рівняннями:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}cos\phi &-sin\phi \\sin\phi &cos\phi \end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}(3)}$

Для гіперболи цей зв'язок можна подати рівняннями:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}sinh\phi &cosh\phi \\cosh\phi &sinh\phi \end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}(4)}$

Якщо зобразити рух точки по колу (гіперболі) як сумарний результат мікрообертань вектора навколо початку системи координат на мікрокути ${\displaystyle \alpha _{i}}$, що є частиною загального вхідного кута ${\displaystyle \,\phi }$, зв'язок між двома сусідніми точками з координатами (x_і,y_і)^T та (x_і+1,y_і+1)^T для колового обертання вектора буде таким:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}cos\alpha _{i}&-sin\alpha _{i}\\sin\alpha _{i}&cos\alpha _{i}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}}(5)}$

Якщо точка рухається по гіперболі, рівняння набувають вигляду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}cosh\alpha _{i}&sinh\alpha _{i}\\sinh\alpha _{i}&cosh\alpha _{i}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}}(6)}$

Надалі розглядатимемо лише колове обертання.

Як бачимо, для здійснення одного мікрообертання потрібно обчислити значення синуса та косинуса кута ${\displaystyle \alpha _{i}}$ та виконати чотири операції множення. Перетворимо систему (5), щоб зменшити кількість необхідних операцій та спростити апаратну реалізацію пристрою. Для цього зобразимо систему у такому вигляді:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle cos\alpha _{i}{\begin{bmatrix}1&-tan\alpha _{i}\\tan\alpha _{i}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}}(7)}$

Тепер спробуємо замінити множення зсувами.

Виконаємо заміну в системі (7) — виберемо елементарні кути ${\displaystyle \,\alpha _{i}}$ на підставі

${\displaystyle \alpha _{i}=arctan\left(2^{-i}\right)(8)}$

У цьому випадку ${\displaystyle tan\alpha _{i}=tan{\big (}arctan{\big (}2^{-i}{\big )}{\big )}=2^{-i}}$ ,a кут повороту φ наближається сумою знакозмінних кутів ${\displaystyle \alpha _{i}}$:

${\displaystyle \phi =\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i},(9)}$

де ${\displaystyle \sigma _{i}\in {\big \{}-1,1{\big \}}}$ — оператор вибору (decision operator) напрямку обертання.
Тоді (7) можна замінити на

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle cos\alpha _{i}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}}(10)}$

Отже, щоб здійснити одне мікрообертання, необхідно заздалегідь обчислити значення косинуса кута ${\displaystyle \alpha _{i}}$ та виконати лише дві операції множення. Дві інші операції множення замінено операціями зсуву.

Ураховуючи (3), (8) — (10), можемо записати:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle cos\alpha _{0}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{0}2^{-0}\\\sigma _{0}2^{-0}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle cos\alpha _{1}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{1}2^{-1}\\\sigma _{1}2^{-1}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle cos\alpha _{2}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{2}2^{-2}\\\sigma _{2}2^{-2}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \cdots cos\alpha _{m}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{m}2^{-m}\\\sigma _{m}2^{-m}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$=

${\displaystyle =\prod _{i=0}^{m}\cos {\Big (}\arctan {\Big (}2^{-i}{\Big )}{\Big )}}$${\displaystyle {\big (}\prod _{i=0}^{m}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\big )}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=P}}}$${\displaystyle {\big (}\prod _{i=0}^{m}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\big )}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},(11)}$

де

${\displaystyle {\boldsymbol {P=}}}$${\displaystyle {\big (}\prod _{i=0}^{m}\cos {\Big (}\arctan {\Big (}2^{-i}{\Big )}{\Big )}{\boldsymbol {=const.}}(12)}$

Зауважимо, що у такому разі

${\displaystyle \sin \alpha _{i}=2^{-i}/{\sqrt {1+2^{-2i}}};(13)}$

${\displaystyle \cos \alpha _{i}=1/{\sqrt {1+2^{-2i}}};(14)}$

${\displaystyle \tan \ \alpha _{i}\ =2^{-i}.(15)}$

Отже, (11) запишемо у вигляді

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\end{bmatrix}}=}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$${\displaystyle {\big (}\prod _{i=0}^{m}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\big )}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},(16)}$

де

${\displaystyle {\boldsymbol {P=}}}$${\displaystyle {\big (}\prod _{i=0}^{m}\cos {\Big (}\arctan {\Big (}2^{-i}{\Big )}{\Big )}{\boldsymbol {=}}\prod _{i=0}^{m}\left({\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}}\right){\boldsymbol {=const.}}}$

Своєю чергою, добуток матриць, взятий у дужки (16), можна зобразити однією результуючою матрицею повороту ${\displaystyle T_{r}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T_{r}=}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}CC&-SS\\SS&CC\end{bmatrix}}{\boldsymbol {=}}}$${\displaystyle \prod _{i=0}^{m}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}},(17)}$

де

${\displaystyle {\boldsymbol {CC=}}}$${\displaystyle cos\phi /P=cos{\big (}\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i}{\big )}/P,}$
${\displaystyle {\boldsymbol {SS=}}}$${\displaystyle sin\phi /P=sin{\big (}\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i}{\big )}/P,}$

Звідси (16) набуде вигляду

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=P}}{\begin{bmatrix}cos\phi /P&-sin\phi /P\\sin\phi /P&cos\phi /P\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=}}{\begin{bmatrix}CC&-SS\\SS&CC\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}xP\\yP\end{bmatrix}}(18)}$

Як випливає з (11), (16), множення замінено зсувами, що значно спрощує апаратну реалізацію обчислювачів.

Вилучивши з (10) масштабуючий коефіцієнт ${\displaystyle cos\alpha _{i}=1/{\sqrt {1+2^{-2i}}}}$, отримаємо класичний (спрощений) ітераційний CORDIC. Ротації в такому випадку називають псевдоротаціями, а рівняння набувають вигляду

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}}(19)}$

або в розгорнутому вигляді

${\displaystyle {\begin{cases}x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i}\\y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\end{cases}}(20)}$

Якщо виконати всі ${\displaystyle m+1}$ ітерації за алгоритмом (20), то отримаємо:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{m+1}\\y_{m+1}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=}}{\begin{bmatrix}CC&-SS\\SS&CC\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}cos\phi /P&-sin\phi /P\\sin\phi /P&cos\phi /P\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=1/P}}{\begin{bmatrix}cos\phi &-sin\phi \\sin\phi &cos\phi \end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},(21)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{m+1}\\y_{m+1}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=}}{\begin{bmatrix}cos\phi &-sin\phi \\sin\phi &cos\phi \end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x/P\\y/P\end{bmatrix}},(22)}$

або

${\displaystyle x_{m+1}=K_{m}{\big [}x\;cos{\big (}\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i}{\big )}-y\;sin{\big (}\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i}{\big )}{\big ]};(23)}$
${\displaystyle y_{m+1}=K_{m}{\big [}y\;cos{\big (}\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i}{\big )}+x\;sin{\big (}\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}\alpha _{i}{\big )}{\big ]};(24)}$

${\displaystyle K_{m}=1/P=\prod _{i=0}^{m}{\sqrt {1+2^{-2i}}},(25)}$

де ${\displaystyle K_{m}}$ — коефіцієнт деформації вектора.

Зв'язок між векторами (x_m+1,y_m+1)^T та (x^',y^')^T такий:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {=P}}{\begin{bmatrix}x_{m+1}\\y_{m+1}\end{bmatrix}}.(26)}$

Ілюстрація ітерацій CORDIC

Рівняння (27) — (30) описують традиційний ітераційний CORDIC у режимі обертання (Rotation mode) для колової системи координат

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\;}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{i}2^{-i};\;(27)}$

${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i};\;(28)}$

де

${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}z_{i}<0\\+1&{\mbox{if }}z_{i}\geq 0\end{cases}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {i=0,1,2,...,m}},(29)}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\arctan {\big (}2^{-i}{\big )},(30)}$

причому

${\displaystyle x_{0}=x,y_{0}=y,z_{0}=\phi }$

Тут введено ще одну змінну ${\displaystyle z\,}$ для зрівноваження значення вхідного кута ${\displaystyle \phi \,}$ . Якщо ${\displaystyle i\to \propto }$ , значення залишкового кута ${\displaystyle z_{i+1}\,}$ прямує до 0.
Для компенсації деформації вектора використовують початкове значення ${\displaystyle x_{0}=xP=x/K_{m},y_{0}=yP=y/K_{m},\,}$ як випливає з (22) та (26).

Якщо прийняти ${\displaystyle x_{0}=P=1/K_{m},y_{0}=0,\,}$ то в результаті виконання (27) — (30) буде реалізовано функції синуса та косинуса за системою рівнянь (1).
Для гіперболічної системи координат у режимі обертання (Rotation mode) рівняння матимуть вигляд

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{i}2^{-i};(31)\,}$

${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i};(32)\,}$

де

${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}z_{i}<0;\\+1&{\mbox{if }}z_{i}\geq 0;\end{cases}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {i=1,2,3,4,4,5...12,13,13,14,...,m}},(33)}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\arctan h{\big (}2^{-i}{\big )},(34)}$

причому ${\displaystyle x_{1}=x,y_{1}=y,z_{1}=\phi }$. Початкові умови з урахуванням компенсації деформації вектора такі самі, як і для колової системи координат. Однак звернемо увагу на те, що початкове значення змінної ${\displaystyle i}$ дорівнює 1, а деякі її значення повторюються для забезпечення збіжності ітераційного процесу (див. рівняння (33)) [1;10].Ці обставини також треба враховувати, обчислюючи значення коефіцієнта деформації вектора для гіперболічної системи координат${\displaystyle K_{m}^{'}}$за такими формулами

${\displaystyle P_{m1}^{'}=\prod _{i=1}^{m}cosh{\big (}\alpha _{i})=\prod _{i=1}^{m}{\frac {1}{\sqrt {1-2^{-2i}}}};}$

${\displaystyle P_{m2}^{'}={\frac {1}{\sqrt {1-2^{-8}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2^{-26}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2^{-80}}}};}$

${\displaystyle P^{'}=P_{m1}^{'}P_{m2}^{'};}$

${\displaystyle K_{m}^{'}=1/P^{'}.}$

Якщо ж початковий вектор задано координатами ${\displaystyle x_{0}=x,y_{0}=y,z_{0}=0\,}$ і при цьому зрівноважується значення змінної ${\displaystyle y\,}$ , тобто при${\displaystyle i\to \propto }$ значення ${\displaystyle y_{i+1}\,}$ прямує до 0, то це так званий векторний режим роботи (Vectoring mode).
Тоді для колової системи координат рівняння набувають вигляду

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+\sigma _{i}y_{i}2^{-i}\,;}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{i}2^{-i};(35)\,;}$

${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+\sigma _{i}\alpha _{i};(36)\,}$

де

${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}y_{i}<0\\+1&{\mbox{if }}y_{i}\geq 0\end{cases}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {i=0,1,2...,m}},(37)}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\arctan {\big (}2^{-i}{\big )}.(38)}$

У такому разі обчислюються функції

${\displaystyle X_{m+1}\approx K_{m}{\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}};}$

${\displaystyle Z_{m+1}\approx \arctan {\big (}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}{\big )}.(39)}$

Для гіперболічної системи координат у векторному режимі (Vectoring mode) рівняння матимуть вигляд

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{i}2^{-i};(40)\,}$

${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+\sigma _{i}\alpha _{i},(41)\,}$

де

${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}y_{i}<0;\\+1&{\mbox{if }}y_{i}\geq 0;\end{cases}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {i=1,2,3,4,4,5...12,13,13,14,...,m}},(42)}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\arctan h{\big (}2^{-i}{\big )},(43)}$

${\displaystyle X_{m+1}\approx K_{m}{\sqrt {x_{1}^{2}-y_{1}^{2}}};}$

${\displaystyle Z_{m+1}\approx \arctan {\big (}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}{\big )}.(44)}$

Для уніфікації методу CORDIC пропонуємо використати такий варіант узагальнення [11]:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-M{\big (}R-V)\sigma _{i}y_{i}2^{-i};}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\big (}R-V)\sigma _{i}x_{i}2^{-i};(45)}$

${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+{\big (}V-R)\sigma _{i}\alpha _{i}.(46)}$

де${\displaystyle \,M-}$параметр, що вказує на систему координат, в якій працює CORDIC (${\displaystyle M=1}$-колова, ${\displaystyle M=-1}$- гіперболічна, ${\displaystyle M=0}$ — лінійна);
в режимі обертання (Rotation mode) R=1, V=0 та у векторному режимі (Vectoring mode) — навпаки R=0, V=1;

${\displaystyle \sigma _{i}\,}$- оператор вибору напрямку обертання (його вибирають з умови ${\displaystyle \sigma _{i}=sign{\big (}z_{i})}$ для режиму обертання (Rotation mode) або ${\displaystyle \sigma _{i}=sign{\big (}y_{i})}$ для векторного режиму (Vectoring mode) і набуває значення ${\displaystyle \sigma _{i}={\big \{}-1,+1{\big \}};}$
для ${\displaystyle M=1\ \alpha _{i}=arctan{\big (}2^{-i});}$ для ${\displaystyle M=-1\ \alpha _{i}=arctanh{\big (}2^{-i});}$ для ${\displaystyle M=0\,\alpha _{i}=2^{-i}.\,}$.

Таблиця деяких функцій, що обчислюються з допомогою CORDIC:

	${\displaystyle Rotation{\big (}R=1;V=0;z_{i}\to 0{\big )}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}z_{i}<0\\+1&{\mbox{if }}z_{i}\geq 0\end{cases}}}$	${\displaystyle Vectoring{\big (}R=0;V=1;y_{i}\to 0{\big )}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}y_{i}<0\\+1&{\mbox{if }}y_{i}\geq 0\end{cases}}}$
${\displaystyle M=1}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\arctan {\big (}2^{-i}{\big )},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {i=0,1,2,...,m}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P=}}}$${\displaystyle \prod _{i=0}^{m}\cos {\Big (}\alpha _{i}{\Big )}{\boldsymbol {=}}\prod _{i=0}^{m}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}}}$ ${\displaystyle K_{m}=1/P=\prod _{i=0}^{m}{\sqrt {1+2^{-2i}}}}$	${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$ ${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{0}=P,y_{0}=0,z_{0}=\phi }$ ${\displaystyle x_{m+1}\approx cos{\big (}\phi )}$ ${\displaystyle y_{m+1}\approx sin{\big (}\phi )}$ ${\displaystyle \phi \in {\big [}0,1.74{\big ]}}$	${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$ ${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{0}=X,y_{0}=Y,z_{0}=0\,}$ ${\displaystyle X_{m+1}\approx K_{m}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}};}$ ${\displaystyle Z_{m+1}\approx \arctan {\big (}{\frac {Y}{X}}{\big )}}$ ${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\approx X_{m+1}P}$
${\displaystyle M=-1\,}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\arctan h{\big (}2^{-i}{\big )},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {i=1,2,3,4,4,5...12,13,13,14,..,m}}}$ ${\displaystyle P_{m1}^{'}=\prod _{i=1}^{m}cosh{\big (}\alpha _{i})=\prod _{i=1}^{m}{\frac {1}{\sqrt {1-2^{-2i}}}};}$ ${\displaystyle P_{m2}^{'}={\frac {1}{\sqrt {1-2^{-8}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2^{-26}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2^{-80}}}};}$ ${\displaystyle P^{'}=P_{m1}^{'}P_{m2}^{'};}$ ${\displaystyle K_{m}^{'}=1/P^{'}}$	${\displaystyle 1.\qquad x_{i+1}=x_{i}+\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$ ${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{0}=P^{'},y_{0}=0,z_{0}=\phi \,}$ ${\displaystyle x_{m+1}\approx cosh{\big (}\phi )\,}$ ${\displaystyle y_{m+1}\approx sinh{\big (}\phi )\,}$ ${\displaystyle \phi \in {\big [}0,1.118{\big ]}\,}$ ${\displaystyle x_{m+1}+y_{m+1}\approx exp{\big (}\phi )\,}$ ${\displaystyle x_{m+1}-y_{m+1}\approx exp{\big (}-\phi )\,}$ ${\displaystyle 2.\qquad q_{i+1}=q_{i}+\sigma _{i}q_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle q_{0}=P^{'},z_{0}=\phi \,}$ ${\displaystyle q_{m+1}\approx exp{\big (}\phi )\,}$ ${\displaystyle \phi \in {\big [}0,1.118{\big ]}\,}$ ${\displaystyle 3.\qquad q_{i+1}=q_{i}-\sigma _{i}q_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle q_{0}=P^{'},z_{0}=\phi \,}$ ${\displaystyle q_{m+1}\approx exp{\big (}-\phi )\,}$ ${\displaystyle \phi \in {\big [}0,1.118{\big ]}\,}$	${\displaystyle 1.\qquad x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$ ${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{1}=X,y_{1}=Y,z_{1}=0\,}$ ${\displaystyle x_{m+1}\approx K_{m}^{'}{\sqrt {X^{2}-Y^{2}}};\,}$ ${\displaystyle z_{m+1}\approx \arctan h{\big (}{\frac {Y}{X}}{\big )}\,}$ ${\displaystyle {\sqrt {X^{2}-Y^{2}}}\approx x_{m+1}P^{'}\,}$ ${\displaystyle for\ arctanh-{\frac {y_{1}}{x_{1}}}\in {\big [}0,0.8069{\big ]}\,}$ ${\displaystyle 2.\qquad x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$ ${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle x_{1}=W+0.25,\ y_{1}=W-0.25\,}$ ${\displaystyle W\in {\big [}0.03,2.33{\big ]}\,}$ ${\displaystyle {\sqrt {W}}\approx x_{m+1}/K_{m}^{'}=x_{m+1}P^{'}\,}$ ${\displaystyle 3.\qquad x_{i+1}=x_{i}-\sigma _{i}y_{i}2^{-i};\,}$ ${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{i}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{1}=W+1,y_{1}=W-1,z_{1}=0\,}$ ${\displaystyle ln{\big (}W)\approx 2z_{m+1}\,}$ ${\displaystyle W\in {\big [}0.107,9.359{\big ]}\,}$
${\displaystyle M=0\,}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=2^{-i}\,}$ ${\displaystyle i=0,1,2,...m\,}$	${\displaystyle 1.\qquad y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{0}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{0}=X,y_{0}=0,z_{0}=Z\,}$ ${\displaystyle y_{m+1}\approx XZ\,}$ ${\displaystyle 2.\qquad y_{i+1}=y_{i}+\sigma _{i}x_{0}2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}-\sigma _{i}\alpha _{i}*Y\,}$ ${\displaystyle x_{0}=X,y_{0}=X,z_{0}=Z-Y\,}$ ${\displaystyle x_{m+1}\approx ZX/Y\,}$	${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-\sigma _{i}x_{0}*2^{-i}\,}$ ${\displaystyle z_{i+1}=z_{i}+\sigma _{i}\alpha _{i}\,}$ ${\displaystyle x_{0}=X,y_{0}=Y,z_{0}=0\,}$ ${\displaystyle z_{m+1}\approx Y/X\,}$