Єгипетський математичний шкіряний сувій

Шкіряний сувій є невеликим довідником з обчислення єгипетських дробів. Він містить 26 сум одиничних дробів, які дорівнюють іншому одиничному дробу. Суми дробів подано у чотирьох стовпцях, причому зміст 3-й та 4-й стовпців дублює зміст 1-го та 2-го. [2]

Єгипетський математичний шкіряний сувій

Column 1	Column 2	Column 3	Column 4
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$

З 26 перерахованих сум десять виражають числа «Ока Гора» : 1/2, 1/4 (двічі), 1/8 (тричі), 1/16 (двічі), 1/32, 1/64, перетворені з єгипетських дробів. Сім інших сум виражають одиничні дроби з парними знаменниками: 1/6 (перераховані двічі, але неправильно один раз), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 та 1/30. Як приклад, три перетворення 1/8 йшли одне за одним з одним або двома масштабними коефіцієнтами:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {3}{3}}={\frac {3}{24}}={\frac {2+1}{24}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}.}$

2. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {5}{5}}={\frac {5}{40}}={\frac {4+1}{40}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}.}$

3. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {25}{25}}={\frac {25}{200}}={\frac {8+17}{200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {17}{200}}\cdot {\frac {6}{6}}={\frac {1}{25}}+{\frac {102}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {80+16+6}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}.}$

Нарешті, дев'ять сум виражають одиничні дроби з непарними знаменниками: 2/3, 1/3 (двічі), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 та 1/15.

Експерти Британського музею не знайшли вступу та опису того, як або чому було обчислено низку еквівалентних одиничних дробів. [3] Еквівалентні єгипетські дроби виражають дроби 1/3, 1/4, 1/8 та 1/16. Сума дробів, які виражають 1/15 була помилково зазначена як рівна 1/6. Ще одна серйозна помилка була пов'язана з 1/13, проблемою, яку експерти 1927 року не намагалися розв'язати.

Оригінальні математичні тексти ніколи не містять пояснень, звідки взялися процедури та формули. Це правдиво і для ЄМШС. Науковці намагалися визначити, якими методами стародавні єгиптяни могли скористатися як таблиці одиничних дробів ЄМШС, так і 2 / n таблиць, відомих з математичного папіруса Райнда та Лахунського математичного папіруса. Обидва типи таблиць використовувались для обчислень з дробами та для перетворення вимірювальних одиниць. [2]

Було помічено, що в ЄМШС є групи дуже схожих сум одиничних дробів. Наприклад, 5-й та 6-й рядки легко поєднуються в рівняння 1/3   +   1/6   =   1/2. Вивести рядки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 і 26 легко, поділивши це рівняння на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 і 32 відповідно. [4]

Деякі задачі можна розв'язати за допомогою алгоритму, який передбачає множення чисельника і знаменника дробу на одне й те саме число

${\displaystyle {\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N}{pq}},}$

розкладу 2-го множника на суму одиничних дробів та подальшого домноження кожного дробу на 1-й множник

Скажімо, за цим методом можна розкласти дріб 1/8, як показано в ЄМШС, для N = 25 (з використанням сучасних математичних позначень):

${\displaystyle 1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)}$

${\displaystyle =1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200}$ [5]

ЄМШС уважають навчальним посібником для майбутні писарів. Писар практикував перетворення раціональних чисел 1 / p та 1 / pq на суму одиничних дробів.

Наступна хронологія показує етапи чіткішого розуміння вмісту ЄМШС, пов'язаного з таблицею ${\displaystyle 2/n}$ математичного папіруса Райнда.

• 1895 – Hultsch припустив, що всі серії таблиці ${\displaystyle 2/n}$ кодуються аликвотними частинами. [6]
• 1927 р. – Glanville дійшов висновку, що арифметика ЄМШС суто адитивна. [7]
• 1929 – Vogel повідомив, що ЄМШС є важливішим (ніж RMP), хоча він містить лише 25 сум одиничних дробів. [8]
• 1950 – Bruins незалежно підтверджує аналіз Hultsch ${\displaystyle 2/n}$ (Bruins 1950)
• 1972 р. – Gillings простіші задачі, серії ${\displaystyle 2/(pq)}$ (Gillings 1972: 95 – 96).
• 1982 рік – Knorr визначає дроби 2/35, 2/91 та 2/95 як винятки із задачі ${\displaystyle 2/(pq)}$. [9]
• 2002 – Gardner виділяє п'ять моделей для ЄМШС. [5]

• Московський математичний папірус
• Лахунські математичні папіруси
• Берлінський папірус 6619Берлінський папірус 6619
• Дерев'яні таблички Ахміма
• Папірус Рейснера
• Папірус Райнда

1. Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society, 1999, pp. 17–18, 25, 37–38, 255–257
2. Annette Imhausen, in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Edited by Victor J. Katz, 2007, pp. 21–22
3. Gillings, Richard J. “The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?” (Historia Mathematica 1981), 456–457.
4. Gillings, Richard J., Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover Publications, 1982 reprint (1972) ISBN 0-486-24315-X
5. Gardner, Milo. “The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences”, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency, 2002:119–134.
6. Hultsch, F. "Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen". (1895):167–71.
7. Glanville, S. R. K. "The Mathematical Leather Roll in the British Museum”. Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8.
8. Vogel, Kurt. “Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik". Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386–407.
9. Knorr, Wilbur R. “Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece”. Historia Mathematica 9, Berlin (1982): 133–171.

• Bruckheimer, M., & Salomon, Y. (1977). Some comments on R. J. Gillings’ analysis of the 2/n Table in the Rhind papyrus. Historia Mathematica, 4, 445–452.
• Bruins, E. M. (1957). Platon et la table égyptienne 2/n. Janus, 46, 253–263.
• Bruins, E. M. (1981). Egyptian arithmetic. Janus, 68, 33–52.
• Bruins, E. M. (1981). Reducible and trivial decompositions concerning Egyptian arithmetics”. Janus, 68, 281–297.
• Gardner, M. (2005). Mathematical roll of Egypt. In Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer.
• Gillings, R. J. (1962). The Egyptian Mathematical Leather Roll. Australian Journal of Science, 24, 339–344.
• Gillings, R. J. (1974). The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How did the Ancient Egyptian scribe prepare it? Archive for History of Exact Sciences, 12, 291–298.
• Gillings, R. J. (1979). The recto of the RMP and the EMLR. Historia Mathematica, 6 (1979), 442–447.
• Gillings, R. J. (1981). The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How did the scribe do it? Historia Mathematica, 456–457.
• Imhausen, A. (2003). Egyptian mathematical texts and their contexts. Science in Context, 16, 367–389.
• Rees, C. S. (1981). Egyptian fractions. Mathematical Chronicle, 10, 13–33.
• Roero, C. S. (1994). Egyptian mathematics. In I. Grattan-Guinness (Ed.) Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, (pp. 30–45). London.
• Scott, A., & Hall, H.R. (1927). Laboratory notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC. British Museum Quarterly, 2, 56.

• EMLR
• EMLR
• EMLR