Єгипетський дріб

Єгипетський дріб — в математиці сума різних одиничних дробів типу ${\frac {1}{n}}$ , наприклад ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{16}}$ . Так що кожен дріб є виразом в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник — додатне ціле число, причому так, що знаменники всі різні. Сума виразу такого типу — це додатне раціональне число a/b; наприклад сума вищенаведеного єгипетського дробу — 43/48. Кожне додатне раціональне число може бути представлене у вигляді єгипетського дробу. Суми такого типу та подібні їм з доданками 2/3 і 3/4 використовували стародавні єгипетські математики для запису раціональних чисел, їх продовжували використовувати і пізніші цивілізації аж до середніх віків. Звичайні дроби та десяткові дроби з часом витіснили єгипетські дроби зі вжитку. Все ж єгипетські дроби залишаються об'єктом досліджень сучасної теорії чисел та розважальної математики, а також в історичних студіях стародавньої математики.

Історія

Стародавній Єгипет

Додаткову інформацію за даним питанням див. в Єгипетська система числення.

Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дроби є математичний папірус Рінда. Три більш давніх тексти, в яких згадуються єгипетські дроби — це Єгипетський математичний шкіряний сувій, московський математичний папірус і дерев'яна табличка Ахмім. Папірус Рінда був написаний писарем Ахмесом в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2/ n , а також 84 математичні задачі, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.

Єгиптяни ставили ієрогліф

(ер, «[один] з» або ре, рот) над числом для позначення одиничного дробу в звичайному записі, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

У них також були спеціальні символи для дробів 1/2, 2/3 і 3/4, якими можна було записувати також інші дроби (більші за 1/2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3}}

={\frac {3}{4}}

Єгиптяни також використовували і інші форми запису, основані на ієрогліфі Око Гора для представлення спеціального набору дробів виду 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), тобто, двоелементних раціональних чисел. Такі дроби використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат (~ 4,785 л), основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Цей комбінований запис також використовувався для вимірювання об'єму зерна, хліб а та пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Ока Гору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, рівний 1/320 Хекат.

Наприклад, так:

={\frac {1}{331}}

При цьому "рот " містився перед усіма ієрогліфами.

Античність і Середньовіччя

Єгипетські дроби продовжували використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до Середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонською системою. Важливу роботу в дослідженні єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі у своїй праці «Liber Abaci».

Основна тема «Liber Abaci» — обчислення, що використовують десяткові і звичайні дроби, що витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складний запис дробів, що включав запис чисел зі змішаною підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Алгоритм Фібоначчі

Перший метод розкладання довільного дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасному записі його алгоритм можна викласти таким чином.

1. Дріб ${\frac {m}{n}}$ розкладається на 2 доданки:

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n)\,{\bmod {\,}}m}{n\lceil n/m\rceil }}.

Тут $\lceil n/m\rceil$ — частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а $~(-n)\,{\bmod {\,}}m$ — (додатня) остача від ділення -n на m.

2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетського дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідного дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.

Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає розкладання, яке шукали. Приклад:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}

Але отримане таким методом розкладання може виявитися не найкоротшим. Приклад його невдалого застосування:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763309}}+{\frac {1}{873960180913}}+{\frac {1}{1527612795642093418846225}},

в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Розклад Енгеля

Розклад Енгеля є ще одним методом представлення чисел у вигляді єгипетського дробу. Існує кілька алгоритмів виконання такого розкладу.

Сучасна теорія чисел

Сучасні математики продовжують досліджувати ряд задач, пов'язаних з єгипетськими дробом.

В кінці минулого століття було дано оцінки максимального знаменника і довжини розкладання довільного дробу в єгипетські. Дріб x/y має розкладання в єгипетські дроби з максимальним знаменником не більше

O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)

і з числом доданків не більше:

O\left({\sqrt {\log y}}\right)

Гіпотеза Ердеша - Грехема стверджує, що для всякої розмальовки цілих чисел більших 1 в r > 0 кольорів існує кінцеве однокольорове підмножина S цілих чисел, таких, що

\sum _{n\in S}1/n=1.

Ця гіпотеза доведена Ернестом Крутом в 2003 році.

Відкриті проблеми

Єгипетські дроби ставлять ряд важких і донині невирішених математичних проблем.

Гіпотеза Ердеша - Страуса стверджує, що для будь-якого цілого числа n ≥ 2, існують позитивні цілі x, y і z такі, що

{\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.

Комп'ютерні експерименти показують, що гіпотеза вірна для всіх n ≤ 10¹⁴, але доказ поки не знайдено. Узагальнення цієї гіпотези стверджує, що для будь-якого позитивного k існує N таке, що для всіх n ≥ N існує розкладання

{\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.

Ця гіпотеза належить Анджею Шинцелю.

Література

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
Beeckmans, L. (1993). The splitting algorythm for Egyptian fractions. Journal of Number Theory 43: 173–185.
Botts, Truman (1967). A chain reaction process in number theory. Mathematics Magazine: 55–65.
Breusch, R. (1954). A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512. American Mathematical Monthly 61: 200–201.
Bruins, Evert M. (1957). Platon et la tabl égyptienne 2/n. Janus 46: 253–263.
Eves, Howard (1953). An Introduction to the History of Mathematics,. Holt, Reinhard, and Winston. 0-03-029558-0.
Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. ISBN 0-486-24315-X.
Graham, R. L. (1964). On finite sums of reciprocals of distinct nth powers. Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92. Архів оригіналу за 22 листопада 2009. Процитовано 28 травня 2014.
Hultsch, Friedrich (1895). Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. Leipzig: S. Hirzel.
Knorr, Wilbur R. (1982). Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece. Historia Mathematica 9: 133–171.
Lüneburg, Heinz (1993). Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag. ISBN 3-411-15461-6.
Martin, G. (1999). Dense Egyptian fractions. Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657.
Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8.
Robins, Gay; Shute, Charles (1990). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. Dover. ISBN 0-486-26407-6.
Stewart, B. M. (1954). Sums of distinct divisors. American Journal of Mathematics 76: 779–785.
Stewart, I. (1992). The riddle of the vanishing camel. Scientific American (June): 122–124.
Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover. с. 20–25. ISBN 0-486-60255-9.
Takenouchi, T. (1921). On an indeterminate equation. Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92.
Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). Length and denominators of Egyptian fractions. Journal of Number Theory 35: 150–156.
Vose, M. (1985). Egyptian fractions. Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21.
Wagon, S. (1991). Mathematica in Action. W.H. Freeman. с. 271–277.

Посилання

Девід Эппштейн. Egyptian Fractions. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.
Egyptian fractions. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.
Mathematics in Egyptian Papyri. 2000. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.