Інтеграл Бохнера

Нехай маємо вимірний простір ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},\mu )}$, де ${\displaystyle \mu }$ — σ-скінченна міра.

Означення

Функцію ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$, де ${\displaystyle X}$ — банаховий простір, назвемо простою, якщо виконується наступне:

${\displaystyle f(t)=\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}{\mathcal {X}}_{E_{k}}(t)}$,

де ${\displaystyle (c_{k}\in X;k=1...n)}$, а

${\displaystyle E_{i}}$ — вимірні, мають скінченну міру і такі, що ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\otimes }$.

Означення

Функцію ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$ назвемо сильно вимірною, якщо існує послідовність простих функцій ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ така, що

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }||f_{n}(t)-f(t)||=0\ (mod\mu )}$

Означення

Інтеграл Бохнера від простої функції ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$ по простору ${\displaystyle \mathbb {R} }$ позначається символом ${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} }f(t)d\mu (t)}$ і визначається так:

${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} }f(t)d\mu (t)=\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}\mu (E_{k})}$

Означення

Функція ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$ називається інтегровною за Бохнером по простору ${\displaystyle \mathbb {R} }$, якщо вона сильно вимірна і знайдеться послідовність простих функцій ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ така, що ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }||f_{n}(t)-f(t)||=0\ (mod\mu )}$ та

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{\mathbb {R} }||f_{n}(t)-f(t)||=0.\ }$

Тоді існує границя

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{\mathbb {R} }f_{n}(t)d\mu (t)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)d\mu (t),\ }$

яка і називається інтегралом Бохнера від функції ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Інтеграл Лебега

• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)