Інтеграл Лебега

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою , і на ньому визначена вимірна функція .

Означення 1. Нехай індикатор деякої вимірної множини , де . Тоді інтеграл Лебега функції за означенням:

Означення 2. Нехай проста функція , де , а — скінченне розбиття на вимірні множини. Тоді

.

Означення 3. Нехай тепер — невід’ємна функція, тобто . Розглянемо всі прості функції , такі ,що . Позначимо це сімейство . Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від задається формулою:

Нарешті, якщо функція довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

де

.

Означення 4. Нехай — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

.

Означення 5. Нехай нарешті довільна вимірна множина. Тоді за означенням

,

де індикатор-функція множини .

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле , задану на . Ця функція набуває значення у раціональних точках і — в ірраціональних. Легко побачити, що не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, на просторі зі скінченною мірою , де борелівська σ-алгебра на , а міра Лебега, вона є простою функцією, бо набуває тільки двох значень, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

Справді, міра відрізка дорівнює . Оскільки множина раціональних чисел зліченна, то її міра дорівнює . Значить міра ірраціональних чисел дорівнює .

Зауваження

  • Так оскільки , то вимірна функція інтегровна за Лебегом тоді й тільки тоді, коли функція інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується для інтеграла Рімана;
  • Залежно від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом.
  • Якщо функція визначена на ймовірнісному просторі і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

  • Інтеграл Лебега лінійний, тобто
,

де — довільні константи;

  • Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо майже скрізь, і інтегровна, то інтегровна і , і більш того
;
  • Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо майже скрізь, то
.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.