Аліасинг

Синусоїди — це важливий тип періодичних функцій, тому що реальні сигнали часто моделюють за допомогою сум синусоїд різних частот і різних амплітуд. Розуміння того, що аліасинг робить із окремими синусоїдами важливе для розуміння того, що відбувається з їх сумою.

Дві різні синусоїди, що відповідають тій самій множині значень.

Рисунок показує набір значень інтервал дискретизації яких — 1, і дві (з багатьох) різних синусоїд, що можуть мати такі значення. Тут частота дискретизації ${\displaystyle f_{s}=1\,}$. Наприклад, якщо інтервал це 1 секунда, частота становить і значення за секунду. Дев'ять циклів червоної і 1 цикл синьої синусоїди покривають проміжок у десять значень. Відповідне число циклів на значення є ${\displaystyle f_{\mathrm {red} }=0.9\,}$  і ${\displaystyle f_{\mathrm {blue} }=0.1\,}$.  Якщо ці значення були отримані дискретизуючі функції ${\displaystyle \scriptstyle \cos \left(2\pi (0.9)x-\theta \right)}$ і ${\displaystyle \scriptstyle \cos \left(2\pi (0.1)x-\phi \right)}$, то їх можна було отримати з тригонометрично тотожних функції ${\displaystyle \scriptstyle \cos \left(2\pi (-0.9)x+\theta \right)}$ і ${\displaystyle \scriptstyle \cos \left(2\pi (-0.1)x+\phi \right),}$ — це впроваджує корисне поняття від'ємної частоти.

Загалом, коли синусоїда частоти ${\displaystyle f\,}$ дискретизується з частотою ${\displaystyle f_{s},\,}$ результовна кількість циклів на значення становить ${\displaystyle f/f_{s}}$ (відома як нормалізована частота), і вибрані значення невідрізненні від значень вибраних з іншої синусоїди (аліаса) чия нормалізована частота відрізняється від ${\displaystyle f/f_{s}}$ на ціле (додатне або від'ємне).[note 1]  Замінюючи синусоїди від'ємних частот на тотожні ним представлення з додатними частотами, ми можемо виразити всі аліаси частоти ${\displaystyle f}$ як  ${\displaystyle f_{\mathrm {alias} }(N)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |f-Nf_{s}|,\,}$  для будь-якого цілого ${\displaystyle N}$ зі справжньою частотою  ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(0)=f\,}$, і ${\displaystyle N}$ має одиниці циклів на значення. Тоді аліас з ${\displaystyle N=1}$ для ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {red} }\,}$  це  ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {blue} },\,}$  (і навпаки).

Аліасінг має значення коли хтось намагається відновити початкову хвилю з її дискретизації. Найпоширеніші техніки для відновлення видають найменшу з частот ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(N)\,}$. Отже, зазвичай важливо, щоб ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(0)\,}$ була унікальним мінімумом. Необхідна і достатня умова для цього це ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2\ >\ |f|,\,}$ де ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2\,}$ це частота Найквіста системи, яку дискретизують з частотою ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}.\,}$  У нашому прикладі умова Найквіста виконана, якщо початковий сигнал це синя синусуїда (${\displaystyle \scriptstyle f=f_{\mathrm {blue} }}$).  Але, якщо ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{\mathrm {red} }=0.9,}$  звичайний метод відновлення видасть синю синусоїду замість червоної.

Згинання

У цьому прикладі, ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {red} }\,}$  і ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {blue} }\,}$ симетрично розташовані навколо частоти ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2.}$  І загалом, із збільшенням ${\displaystyle \scriptstyle f}$ від 0 до ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2,}$  ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)}$ зменшується з ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}}$  до ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2.}$  Подібним чином зі збільшенням ${\displaystyle \scriptstyle f}$ від ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2}$  до ${\displaystyle \scriptstyle f_{s},}$  ${\displaystyle \scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)}$ продовжує зменшуватись від ${\displaystyle \scriptstyle f_{s}/2}$ до 0.

Чорні точки — аліаси один одному. Жирна червона лінія — це приклад амплітуди, що змінюється з частотою. Пунктирні червоні лінії — це відповідні шляхи аліасів.

• Згладжування (графіка)
• Частота дискретизації
• Оцифровування
• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

• Craig Marven, Gillian Ewers A simple approach to digital signal processing — Wiley, 1996—236 стор. (англ.)