Бики та корови

Настільний варіант гри Mastermind[1] для 4 місць та 6 кольорів

Правила гри можуть залежати від типу вгадуваної послідовності — це можуть бути числа, слова, кольори, піктограми тощо. В класичній версії гра відбувається між двома гравцями. Також можуть грати дві команди по декілька гравців (з членами команди обговорюють свою стратегію, перш ніж вибрати крок).

   Задумане число: 4271
   Спроба суперника: 1234
   Відповідь: 1 бика і 2 корови. (Бик "2", корови "4" і "1".)

   Задумане слово: СІНО
   Спроба суперника: СНІГ
   Відповідь: 1 бика і 2 корови. (Бик "С", корови "Н" та "І".)

У загальному випадку кількість варіантів для k-значного числа в N-річній системі числення без повторень, буде дорівнювати числу розміщень: ${\displaystyle A_{N}^{k}={\frac {N!}{(N-k)!}}}$.

У разі варіанта з повтореннями кількість варіантів дорівнюватиме ${\displaystyle N^{k}}$.

Найоптимальнішим алгоритмом вгадування числа є перебір чисел з відкиданням невідповідних варіантів. У зв'язку з тим, що можливих варіантів небагато і схема перебору елементарно реалізується, комп'ютер грає набагато сильніше людини. При чому, чим більше цифр (літер, фішок) у послідовності, тим більша різниця у силі гри людини та комп'ютера.

Наприклад, алгоритм для відгадування чотиризначного числа без повторень:

1. Побудувати множину S із ${\displaystyle A_{10}^{4}={\frac {10!}{(10-4)!}}=5040}$ варіантів.
2. Запропонувати будь-який варіант із множини.
3. Отримати кількість «биків» та «корів»
4. Виключити із множини S елементи, які мають іншу кількість «биків» та «корів» із запропонованим варіантом.
5. Порахувати кількість елементів у множині.
6. Повторювати алгоритм, починаючи з пункту 2, поки в множині не залишиться один елемент або не буде отримано 4 «бики».

Якщо після пункту 4 отриману порожню множину S, то гравець допустив помилку при підрахунку «биків» та «корів».

Існує безліч варіантів електронної реалізації гри, в тому числі для комп'ютерів та мобільних телефонів.

• Fallout 3, Fallout New Vegas, та Fallout 4 — за допомогою міні-версії цієї гри здійснюється хакерський злом комп'ютера.
• Sleeping Dogs включає в себе версію гри (з цифрами від 1 до 9) для злому камер безпеки.
• Jotto42[2] — подібна гра зі словами
• Mastermind[1] — подібна гра з кольоровими фішками.

• 4digits, an Open Source version of Bulls and Cows
• Page with the PL/1 code for Moo by J.M. Grochow
• Description of Bulls and Cows with numbers, and a Web playable version
• Online version of Bulls and Cows game
• Knuth, D. E. "The Computer as a Master Mind". J. Recr. Math. 9, 1-6, 1976-77
• Francis, J. "Strategies for playing MOO, or 'Bulls and Cows'"
• Classical version of "Bulls and Cows" game
• Version of "Bulls and Cows" game in russian Архівовано 27 квітня 2014 у Wayback Machine.
• Android Play version of the "Bulls and Cows" game, suitable for android 2.1 or above
• iOS version of the "Bulls and Cows" game + multiplayer mode
• Atari 8 bit version.
• "Bulls & Cows" Challenge game in Visual Basic
• "Sayibul": Bulls and Cows for Windows, freeware, can be played against AI or human opponent in hot seat mode, via LAN or internet

• Е. Гик. Быки и коровы. «Наука и жизнь», № 2, 1978, с. 150—151; № 8, 1978, с. 142—143.
• Чарльз Уэзерелл. Этюды по программированию, Великий комбинатор. М.: 1982, с. 140.