Взаємодія (статистика)

Просте встановлення, де може виникнути взаємодія є аналізований двофакторний експеримент з використанням дисперсійного аналізу (ANOVA). Припустимо, що ми маємо два бінарних факторів А і В. Наприклад, ці чинники можуть вказувати, чи були введені або з двох методів лікування для пацієнта, після лікування з використанням прикладної або окремо, або в разом. Потім ми можемо розглянути середню реакцію на лікування (наприклад, рівні симптомів після закінчення лікування) для кожного пацієнта, залежно від комбінації лікування, яке вводили. У наступній таблиці показана одна з можливих ситуацій:

У цьому прикладі, не існує ніякої взаємодії між двома методами лікування — їх наслідки є адитивними. Причина цього полягає в тому, що різниця в середній реакції між цими суб'єктами, які отримують лікування А і тих, хто не отримує лікування А -2 незалежно від того, чи запроваджують лікування В (-2 = 4 — 6), чи ні (-2 = 5 — 7). Зверніть увагу, що автоматично випливає, що різниця в середньому відповіді між цими суб'єктами, які отримують лікування B і які не отримують лікування В одна і та же, незалежно від того, чи запроваджують лікування А (7 — 6 = 5 — 4).

На противагу цьому, якщо спостерігаються такі середні відповіді

то взаємодія між процедурами — їх ефекти не є адитивними. Припустивши, що більше число відповідає кращій реакції, в цій ситуації лікування B та в середньому, якщо суб'єкт також отримує лікування А, але це позначається на середньому, якщо в комбінації з лікуванням А. та А корисно в середньому незалежно від того, чи також вводять лікування B, але це більш корисно як в абсолютному, так і у відносному вираженні, якщо дано поодинці, а не в поєднанні з лікуванням B. Аналогічні спостереження зроблені для цього конкретного прикладу в наступному розділі.

${\displaystyle Y=c+ax_{1}+bx_{2}+d(x_{1}\times x_{2})+{\text{error}}\,}$

У багатьох додатках можна побачити різницю між якісними та кількісними взаємодіями. Кількісна взаємодія між А і В, відноситься до ситуації, коли величина ефекту В залежить від величини А, але напрямок ефекту B є постійним для всіх А. Якісна взаємодія між А і В, відноситься до ситуації, коли як величина так і напрямок ефекту кожної змінної може залежати від значення іншої змінної величини.

У таблиці зліва, нижче, кількісна взаємодія — лікування А вигідна як коли і B дано, і коли В не дано, але вигода більше, коли B не дано (тобто коли дається в поодинці), Таблиця праворуч показує якісну взаємодію. А шкідливо, коли В дано, але це корисно, коли Б не дано. Слід зазначити, що таке ж трактування матиме місце, якщо ми розглянемо B в залежності від того дається воно чи ні.

Різниця між якісними та кількісними взаємодіями залежить від порядку, в якому розглядаються змінні (на відміну, властивість адитивності інваріантна до порядку змінних). В наступній таблиці, якщо ми зосередимося на ефекті лікування А, побачимо кількісну взаємодію — надання лікування А буде поліпшувати результат в середньому, незалежно від того, чи є лікування B або ще нема (хоча користь більше, якщо лікування А задається  поодинці). Проте, якщо ми надамо ефекта лікування B, існує якісна взаємодія — надання лікування B суб'єкту, який вже отримує лікування А та (в середньому) ще гірше, в той час як надання лікування B до суб'єкта, який не отримує лікування А буде поліпшувати результат в середньому.

У своїй простій формі, допущення одиниці обробки адитивності стверджує, що спостережуваний відгук Yij з експериментальної установки і при отриманні лікування J можна записати у вигляді суми. Припущення про обробку адитивності є таким: кожне лікування має точно такий же адитивний ефект як і на кожній експериментальній одиниці. Так як будь-яка певна експериментальна установка може тільки пройти один з методів обробки, припущення лікування адитивності є гіпотезою, яка  безпосередньо не фальсифікується, за словами Кокса Кемпторн.^{[джерело?]}

Тим не менш, багато наслідки лікування одиниць адитивності можуть бути фальсифіковані. Для рандомізованого експерименту, припущення про лікування адитивності є наступним: що дисперсія постійна для всіх видів лікування. Тому, до протиставлення, необхідною умовою блока обробки адитивності є те, що дисперсія постійна.^{[джерело?][джерело?]}

[2]Властивість адитивності обробки не є інваріантним при зміні масштабу, тому статистики часто використовують зміни для досягнення  обробки адитивність. Якщо змінна відповідь буде слідувати параметричне сімейство ймовірнісних розподілів, то статистики можуть вказати (у протоколі для експерименту або обсерваційне дослідження), що відповіді будуть змінними, щоб стабілізувати дисперсію. У багатьох випадках, статистик може вказати, що логарифмічні перетворення застосовуються до відповідей, які, як вважають, слідують мультиплікативним моделям.^{[джерело?]}

Припущення про обробку адитивності було проголошене в дослідно-конструкторських закладах  Кемпторна і Кокса. Використання Кемптоном обробки адитивності і рандомізації аналогічного аналізу проектувалося на основі кінцевої вибірки обстеження населення.^{[джерело?][джерело?]}

В останні роки стало звичайним використовувати термінологію Дональда Рубіна, який використовує гіпотетичні ситуації. Припустимо, що ми порівнюємо дві групи людей щодо деякого атрибута у. Наприклад, перша група може складатися з людей, які отримують стандартну обробку для медичного стану, з другою групою, що складається з людей, які отримують нове лікування з невідомим ефектом. Беручи «контрфактичну» перспективу, ми можемо розглянути фізичну особу, чий атрибут має значення у, якщо ця особа належить до першої групи, і чий атрибут має значення т (у), то фізична особа належить до другої групи. Припущення про «блок обробки адитивності» є те, що τ (у) = τ, тобто «ефект лікування» не залежить від у. Так як ми не можемо спостерігати, як у і т (у) для даного індивіда, це не перевіряються на індивідуальному рівні. Проте, блок обробки адитивності вказує, що сукупні функції розподілу F1 і F2 для двох груп задовольняють F2 (у) = F1 (у — τ), до тих пір, як привласнення осіб до груп 1 і 2 не залежить від усіх інших факторів, що впливають на у (тобто немає ускладнень). Відсутність блока обробки адитивності можна розглядати як форму взаємодії між проведенням лікування (наприклад, групи 1 або 2), і базовою лінією, або яка необроблене значення у.^{[джерело?]}

Іноді взаємодіючі змінні є категоріальні змінні, а не дійсні числа і дослідження може потім розглядатися як аналіз проблеми відхилень. Наприклад, члени популяції можуть бути класифіковані за релігійною ознакою і за родом занять. Якщо хтось хоче, передбачити висоту та, ґрунтуючись лише на релігії людини і рід занять, простої адитивної моделі, тобто моделі без взаємодії, додало б до загальної середньої висоти коригування для конкретної релігії, а інший для певної професії. Модель з взаємодією, на відміну від адитивної моделі, може додати ще поправку на «взаємодії» між цієї релігії і цієї окупації. Цей приклад може привести до підозри, що слово взаємодія є чимось некоректним.

Статистично, наявність взаємодії між категоріальними змінними, як правило, відчувають, використовуючи форму дисперсійного аналізу (ANOVA). Якщо один або кілька змін неперервні за своєю природою, проте, вона, як правило, модерується за допомогою  множинної регресії. Це так називається, тому що модератор це зміна, яка впливає на міцність відносин між двома іншими змінами.

Genichi Taguchi стверджував, що взаємодія може бути виключена з системи шляхом відповідного вибору змінного відгуку і перетворення. Однак Джордж Box та інші стверджували, що це не так, в цілому..[3]^{[джерело?]}

${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+\cdots +{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}$. ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}=1+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}}$. У наведеній нижче таблиці показано кількість термінів для кожного числа n і максимального порядку взаємодії.

Найбільш загальний підхід до ефектів моделювання взаємодії включає в себе регресію, починаючи з початкової версії, наведеної вище:

${\displaystyle Y=c+ax_{1}+bx_{2}+d(x_{1}\times x_{2})+{\text{error}}\,}$

де термін взаємодія ${\displaystyle (x_{1}\times x_{2})}$ може бути сформований в явному вигляді шляхом множення двох (або більше) змінних величин, або неявно за допомогою факторного позначення в сучасних статистичних пакетів, таких як Stata. Компоненти x1 і x2 можуть бути  {0,1} Фіктивні змінні в будь-якій комбінації. Взаємодія з фіктивної змінної, помножену на змінну вимірювання називаються укосів фіктивні змінні, так як вони оцінюють і перевірити різницю в схилах між групами 0 і 1.

Коли змінні виміру використовуються у взаємодіях, часто бажано працювати з зосередженими версіями, де середня для змінної (або будь-якої іншої розумно центральне значення) встановлюється рівним нулю. Центрування робить основні ефекти  взаємодії більш інтерпретовані. Коефіцієнт а в рівнянні вище, наприклад, являє собою ефект x1, коли х2 дорівнює нулю. Центрування може також зменшити проблеми з мультиколінеарності.

Взаємодія освіти і політичної партії впливають на переконання про зміну клімату

Регресивні підходи до моделювання взаємодії носять досить загальний характер, оскільки вони можуть n додаткові прогностичні і багато альтернативні специфікації або стратегії оцінки, крім звичайних найменших квадратів. Міцні, і змішані ефекти (багаторівневі) моделі є одними з можливостей, як лінійного моделювання узагальнено широкого спектра категорій, підраховували чи іншим чином обмежені залежні змінні. Графік зображує взаємодію освіту * політика, з ймовірністю-зваженої логит регресійного аналізу даних обстеження. [4]