Визначник Вандермонда
Визна́чником Вандермонда називається визначник:
.
Він дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли існує хоч одна пара така, що .
Доведення
Індукція за розміром матриці .
База
. Матриця має вигляд
Зрозуміло, її визначник дорівнює .
Індукційне припущення
Індукційний перехід
Віднімемо від останнього стовпця передостанній, помножений на , від -ого — -й, помножений на , від -ого — -й, помножений на і так далі для всіх стовпців. Ці перетворення не змінюють визначник матриці. Отримаємо
Розкладаючи цей визначник по елементах першого рядка, отримаємо, що він дорівнює наступному визначнику:
Для всіх від 2 до винесемо з -го рядка множник . Отримаємо
Підставимо значення з індукційного припущення:
, що й треба було довести.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.