Від'ємна основа

Нега-позиційний запис	Позиційний  запис	Подання числа
174(-10)	34(10)	1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34
46(-10)	−34(10)	4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34
11001(-2)	1001(2)	1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9

Нега-позиційні системи числення вперше були запропоновані Вітторіо Грюнвальдом у його роботі «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стор. 203—221), опублікованій в 1885 році. Грюнвальд описав алгоритми додавання, віднімання, множення, ділення, отримання кореня, ознак подільності й перетворення систем числення.

Число x у нега-позиційній системі числення з основою b = -r представляється у вигляді лінійної комбінації числа ступенів -r:

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(-r)^{k}}$, де ${\displaystyle a_{k}}$ — це цілі числа, які називають цифрами ,що задовольняють нерівності ${\displaystyle 0\leq a_{k}<r}$,де ${\displaystyle k}$ — порядковий номер розряду починаючи з нульового, n — число розрядів.

Кожнен ступінь ${\displaystyle (-r)^{k}}$ у такому записі називається розрядом, старшинство розрядів і відповідних їм чисел визначається значенням показника ${\displaystyle k}$. Зазвичай для ненульового числа ${\displaystyle x}$ вимагають, щоб старша цифра ${\displaystyle a_{n-1}}$ у b-річному поданні ${\displaystyle x}$ була також ненульова.

Нега-позиційні системи можна порівняти із знако-розрядними системами числення, такими як симетрична трійкова система, де основа системи додатна, однак цифри можуть приймати від'ємні значення з деякого проміжку.

Деякі числа мають одне й те ж саме подання в системах числення з основою ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle -b}$ (позиційних й відповідним їм нега-позиційних). Приміром, числа від 100 до 109 однаково записуються в десятковій і нега-десяткових системах числення. Аналогічно:

${\displaystyle 17=2^{4}+2^{0}=(-2)^{4}+(-2)^{0}}$

Тобто число 17 має однакове представлення в двійковій і нега-двійковій системах числення — ${\displaystyle 10001}$.

Подання чисел від -12 до 12 в різних системах числення:

Нега-позиційне подання числа може бути отримано послідовними поділами з залишком вихідного числа ${\displaystyle b=-r}$ (тобто на основу нега-позиційної системи) і записом поспіль залишків починаючи з останнього. Зауважимо, що якщо ${\displaystyle a/b=c}$, із залишком ${\displaystyle d}$, то ${\displaystyle bc+d=a}$. Приклад перекладу в нега-трійкову систему:

${\displaystyle {\begin{aligned}146&~/~-3=&-48,&~~~d=2\\-48&~/~-3=&16,&~~~d=0\\16&~/~-3=&-5,&~~~d=1\\-5&~/~-3=&2,&~~~d=1\\2&~/~-3=&0,&~~~d=2\\\end{aligned}}}$

Отже, нега-трійковим поданням числа 146₍₁₀₎ є число 21102_(-3).

Реалізація на C#:

static string negaternary(int value)
{
	string result = string.Empty;
	while (value != 0)
	{
		int remainder = value % -3;
		value = value / -3;
		if (remainder < 0)
		{
			remainder += 3;
			value += 1;
		}
		result = remainder.ToString() + result;
	}
	return result;
}

• Знако-розрядна система числення
• Симетрична система числення