Позиційна система числення

Такі системи числення відрізняються тим, що використовують цифри не із множини натуральних чисел ${\displaystyle (0,\ldots ,b-1)}$, а із множини цілих чисел ${\displaystyle (-{\frac {b-1}{2}},-{\frac {b-3}{2}},\ldots ,{\frac {b-1}{2}})}$. Щоб цифри були цілими, потрібно, щоб b було непарним. У симетричних системах числення не вимагається додаткових позначень для знака числа. Крім цього, обчислення у симетричних системах зручні тим, що немає особливих правил округлення, яке зводиться до простого відкидання зайвих розрядів, що різко зменшує систематичні помилки обчислень.

Найчастіше використовується симетрична трійкова система числення із цифрами ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ або ${\displaystyle \{{\bar {1}},0,1\}}$. Вона застосовується у трійковій логіці і була технічно реалізована в обчислювальній машині «Сетунь».

Наприклад, число «тисяча п'ятсот вісімдесят сім» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

${\displaystyle 1587=1\cdot 10^{3}+5\cdot 10^{2}+8\cdot 10^{1}+7}$.

А число «одна друга»:

${\displaystyle 0{,}5=0\cdot 10^{0}+5\cdot 10^{-1}}$.

Використовуючи позиційний принцип, ми можемо зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

У системі із основою ${\displaystyle (-10)}$ число «одинадцять» буде виглядати так:

${\displaystyle 11=1\cdot (-10)^{2}+9\cdot (-10)^{1}+1\cdot (-10)^{0}=100-90+1}$.

Числа «один» і «два» у симетричній системі ${\displaystyle \{{\bar {1}},0,1\}}$ з базою ${\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ виглядають так:

${\displaystyle 10{,}{\bar {1}}=1\cdot \phi ^{1}+{\bar {1}}\cdot \phi ^{-1}\approx 1{,}618-0{,}618}$.

${\displaystyle 100{,}{\bar {1}}=1\cdot \phi ^{2}+{\bar {1}}\cdot \phi ^{-1}\approx 2{,}618-0{,}618}$.

Також поширені системи числення з основами:

• 2 — двійкова (у дискретній математиці, інформатиці, програмуванні)
• 8 — вісімкова (у програмуванні)
• 12 — дванадцяткова (мала широке застосування у давнину, подекуди використовується і нині)
• 16 — шістнадцяткова (поширена у програмуванні, а також для кодування шрифтів)
• 60 — шістдесяткова (для виміру кутів і, зокрема, довготи і широти)

Якщо число у системі числення з основою b дорівнює

${\displaystyle a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots a_{n},}$

то для переведення його до десяткової системи обчислюють наступну суму:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b^{n-i}}$

або, більш наглядно:

${\displaystyle a_{1}\cdot b^{n-1}+a_{2}\cdot b^{n-2}+\ldots +a_{n-1}\cdot b^{1}+a_{n}\cdot b^{0},}$

або, нарешті, у вигляді схеми Горнера:

${\displaystyle ((\ldots (a_{1}\cdot b+a_{2})\cdot b+a_{3})\ldots )\cdot b+a_{n}.}$

${\displaystyle 101100_{2}=}$

= 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 1 =

= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =

= 32 + 8 + 4 + 0 = 44₁₀

Для переведення потрібно ділити число із залишком на основу системи числення допоки частка не стане меншою за основу.

${\displaystyle 44_{10}}$ переведемо до двійкової системи

44 ділимо на 2; частка 22, залишок 0
22 ділимо на 2; частка 11, залишок 0
11 ділимо на 2; частка  5, залишок 1
 5 ділимо на 2; частка  2, залишок 1
 2 ділимо на 2; частка  1, залишок 0

Частка менша двох, ділення закінчено. Тепер записуємо останню частку від ділення і усі залишки, починаючи з останнього, зліва направо, отримаємо число ${\displaystyle 101100_{2}}$.

Для цього типу операцій існує спрощений алгоритм.

Для вісімкової — розбиваємо числа на триплети, перетворюючи триплети згідно з таблицею

000 0  100 4
001 1  101 5
010 2  110 6
011 3  111 7

Для шістнадцяткової — розбиваємо на квартети, перетворюючи згідно з таблицею

0000 0  0100 4  1000 8  1100 C 
0001 1  0101 5  1001 9  1101 D
0010 2  0110 6  1010 A  1110 E
0011 3  0111 7  1011 B  1111 F

Перетворимо 101100₂

у вісімкову — 101 100 → 54₈

у шістнадцяткову — 0010 1100 → 2C₁₆

Перетворимо до двійкової системи

76₈ → 111 110

3E₁₆ → 0011 1110