Гіпотеза Гольдбаха

У 1742 році прусський математик Християн Ґольдбах написав лист Леонарду Ейлеру, в якому він висловив наступне припущення:

Кожне непарне число більше 5 можна представити у вигляді суми трьох простих чисел.

Ейлер зацікавився проблемою і висунув сильнішу гіпотезу:

Довільне парне число більше двох можна представити у вигляді суми двох простих чисел.

Перше твердження називається тернарною проблемою Ґольдбаха, друге - бінарною проблемою Ґольдбаха.

Тернарна проблема Ґольдбаха формулюється так:

Довільне непарне число не менше 7 можна записати у вигляді суми трьох простих чисел.

Це твердження було доведено для всіх достатньо великих чисел Виноградовим у 1937 році, за що він одержав Сталінську премію і звання Героя Соціалістичної Праці.

У 1923 році математики Гарді і Літлвуд показали, що у разі справедливості деякого узагальнення гіпотези Рімана, проблема Ґольдбаха буде справедливою для всіх достатньо великих непарних чисел. У 1937 році Виноградов подав доведення, не залежне від справедливості гіпотези Рімана, тобто довів, що будь-яке достатньо велике непарне число може бути подано у виді суми трьох простих.

Надалі результат Виноградова багато разів покращували, поки в 1989 році Ванг і Чен не опустили нижню грань до ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{11,503}}\approx 3{,}33\cdot 10^{43000}}$, що, проте, як і раніше знаходиться за межами досяжності для явної перевірки всіх менших чисел при сучасному розвитку обчислювальної техніки.

У 1997 році Дезуйе, Еффінгер, Те Ріле і Зінов'єв показали, що з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха. Вони довели її справедливість для чисел, що перевищують ${\displaystyle 10^{20}}$, тоді як справедливість твердження для менших чисел легко встановлюється на комп'ютері.

Бінарна проблема Ґольдбаха формулюється так:

Довільне парне число більше двох можна подати у вигляді суми двох простих чисел.

Бінарна проблема Ґольдбаха далека від рішення.

Виноградов в 1937 році і Теодор Естерман в 1938 показали, що майже всі парні числа можна записати у вигляді суми двох простих чисел (частка тих чисел, що не задовольняють цю властивість, якщо вони існують, прямує до нуля). Цей результат трохи посилений 1975 року Х'ю Монтгомері (Hugh Montgomery) і Робертом Чарльзом Воном (Robert Charles Vaughan). Вони показали, що існують додатні константи c і C, такі що кількість парних чисел, не більших N, що не є сумою двох простих чисел, не перевищує ${\displaystyle CN^{1-c}}$. У 1995 році Олів'є Рамаре (Olivier Ramaré) довів, що будь-яке парне число — сума не більше 6 простих чисел.

У 1966 році Чень Цзінжунь (Chen Jingrun) довів, що будь-яке достатньо велике парне число є сумою двох простих чисел, або сумою простого числа і напівпростого числа (добутку двох простих чисел). Наприклад ${\displaystyle 100=23+7\cdot 11}$.

На липень 2008 року бінарна гіпотеза Гольдбаха була перевірена для всіх парних чисел, що не перевищують ${\displaystyle 1{,}2\cdot 10^{18}}$.

• 1920 Виго Брун довів, що будь-яке достатньо велике парне число може бути представлено у вигляді суми двох чисел з небільш ніж 9-ти простих дільників.
• 1923 Харді та Літлвуд довели, що якщо вірне деяке узагальнення гіпотези Рімана, то для достатньо великих непарних цілих чисел вірна й тернарна проблема Гольдбаха
• 1930 Шнірельман довів, що будь-яке ціле число може бути представлено у вигляді суми не більше ніж 800 000 простих чисел.
• 1937 Чудаков довів, що "майже всі" парні цілі числа можуть бути представлені як сума двох простих чисел, тобто, що асимптотична щільність множини тих парних цілих чисел, що не можливо записати як суму двох простих, дорівнює 0.
• 1937 Виноградов довів, що будь-яке достатньо велике непарне число може бути представлено у вигляді суми трьох простих чисел. Математик Бороздкін у 1939 році оцінив це достатньо велике число як таке, що не перевищую ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{41,94}}}\approx \mathrm {e} ^{3,42458\cdot 10^{7,114\cdot 10^{17}}}}$. Пізніше учень Виноградова встановив границю цього "достатньо великого" числа як не більше за ${\displaystyle 3^{3^{15}}\approx 3{,}2485963\cdot 10^{6846168}}$. У 1989 році Ван і Чень опустили границю до ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{11,503}}\approx 3{,}33339256\cdot 10^{43000}}$. Потім, Liaoming Чжэ Ван Tianze у 2001 році цю границю зменшив до ${\displaystyle \mathrm {e} ^{3100}\approx 2{,}0553883948\cdot 10^{1346}}$. Робота Харальда Хельфгота зменшила границю Виноградова до ${\displaystyle 10^{30}}$.
• 1938 Хуа Луоген довів таке послаблення слабої гіпотези Голдбаха : для деякого натурального числа k, будь-яке достатньо велике непарне число може представлятись як ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}^{k}}$. При k = 1 це слаба гіпотеза Гольдбаха.
• 1947 Альфред Рен'ї (Alfréd Rényi) довів, що існує така константа ${\displaystyle K}$, що будь-яке ціле число може бути представлено як сума простого числа та числа, у якого не більше ${\displaystyle K}$ простих дільників
• 1951 Ліник довів, що існує така константа ${\displaystyle K}$, що будь-яке парне ціле число може бути представлено як сума двох простих чисел та небільше ${\displaystyle K}$ степенів двійки. У 2003 році Pintz й Ruzsa встановили, що ${\displaystyle K<=8}$
• 1966 Чень Цзінжунь встановив, що будь-яке достатньо вілике парне ціле число може бути представлено як сума або двох простих чисел, або простого та напівпростого чисел.
• 1975 Хью Монтгомері та Роберт Чарльз Воган показали, що існує пара констант ${\displaystyle c}$ та ${\displaystyle C}$ такі що кількість парних чисел, не більших ${\displaystyle N}$, що не є сумою двох простих чисел, не перевищує ${\displaystyle CN^{1-c}}$
• 1995 Олів'є Рамаре (Olivier Ramaré) довів, що будь-яке парне ціле число може бути представлено як сума не більше, ніж 6 простих чисел.
• 1997 Дезуйе, Ефінгер, те Ріле та Зинов'єв довели, що для чисел не менших за ${\displaystyle 10^{20}}$ з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха.
• 2012 Теренс Тао довів, що будь-яке непарне число, більше ніж 1 може бути записано як сума не більш як п'яти простих чисел, покращуючи результат Олів'є Рамаре.
• 2013 Харальд Хельфгот представив роботу (перевірка якої ще триває), де довів, що будь-яке непарне ціле число, більше за ${\displaystyle 10^{30}}$, може бути записано як сума трьох простих чисел. Для чисел, менше ніж ${\displaystyle 10^{30}}$ результат перевірено безпосередньою перевіркою на комп'ютері.

Зараз із результату Харальда Хельфгота, якщо він виявиться вірним, випливає, що будь-яке парне число, більше за 8, може бути представлено як сума 2 чи 4-х простих чисел, тому що парне число ${\displaystyle u}$, яке не є сумою двох простих, можна переписати як ${\displaystyle u=(u-3)+3}$, де перший додаток представляють як суму трьох простих чисел за Хельфготом, а другий - 3 - є також простим; а отже згадане парне число ${\displaystyle u}$ може бути представлено як сума не більш ніж 4 простих. Для 4, 6 та 8 це вірно.

Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.